设直线 $l$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{9}+y^2=1$ 交于 $A,B$ 两点，且以 $AB$ 为直径的圆过椭圆的右顶点 $C$，求 $\triangle{ABC}$ 面积的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac 38$
【解析】
如图，将坐标系原点平移至 $C$，则椭圆方程变为$$\dfrac{(x+3)^2}{9}+y^2=1, \text{即} x^2+6x+9y^2=0.$$设直线 $AB$ 的方程为 $x=my+a$，则联立直线方程与椭圆方程有$$x^2+6x\cdot \dfrac {x-my}{a}+9y^2=0,$$即$$9\cdot \left(\dfrac yx\right)^2-\dfrac{6m}{a}\cdot \dfrac yx +1+\dfrac 6a=0.$$而$$\dfrac {y_1}{x_1}\cdot \dfrac{y_2}{x_2}=-1,$$所以$$9+1+\dfrac 6a=0,$$解得 $a=-\dfrac 35$，因此 $CD=\dfrac 35$．
将椭圆通过变换 $\begin{cases}x'=x,y'=3y,\end{cases}$ 变为圆 $x'^2+y'^2=9$，则 $S_{\triangle{ABC}}=\dfrac 13 S_{\triangle{A'B'C'}}$，如图．因为 $C'D'=\dfrac 35$，$O'C'=3$，所以\[\begin{split}\dfrac{S_{\triangle{A'B'C'}}}{S_{\triangle{O'A'B'}}}=\dfrac {C'D'}{O'D'}=\dfrac{\dfrac 35}{3-\dfrac 35}=\dfrac 14.\end{split}\]设 $O'$ 到 $A'B'$ 的距离为 $d$，则\[S_{\triangle{O'A'B'}}=\dfrac 12 \cdot A'B' \cdot d=\dfrac 12 \cdot 2\sqrt{3^2-d^2}\cdot d =\sqrt{d^2(9-d^2)}.\]当且仅当 $d^2=9$ 时，$S_{\triangle{O'A'B'}}$ 取得最大值 $\dfrac 92$，于是$$S_{\triangle{ABC}}=\dfrac {1}{12}S_{\triangle{O'A'B'}}\leqslant \dfrac 38,$$即 $\triangle{ABC}$ 面积的最大值为 $\dfrac 38$．
将椭圆通过变换 $\begin{cases}x'=x,y'=3y,\end{cases}$ 变为圆 $x'^2+y'^2=9$，则 $S_{\triangle{ABC}}=\dfrac 13 S_{\triangle{A'B'C'}}$，如图．因为 $C'D'=\dfrac 35$，$O'C'=3$，所以\[\begin{split}\dfrac{S_{\triangle{A'B'C'}}}{S_{\triangle{O'A'B'}}}=\dfrac {C'D'}{O'D'}=\dfrac{\dfrac 35}{3-\dfrac 35}=\dfrac 14.\end{split}\]设 $O'$ 到 $A'B'$ 的距离为 $d$，则\[S_{\triangle{O'A'B'}}=\dfrac 12 \cdot A'B' \cdot d=\dfrac 12 \cdot 2\sqrt{3^2-d^2}\cdot d =\sqrt{d^2(9-d^2)}.\]当且仅当 $d^2=9$ 时，$S_{\triangle{O'A'B'}}$ 取得最大值 $\dfrac 92$，于是$$S_{\triangle{ABC}}=\dfrac {1}{12}S_{\triangle{O'A'B'}}\leqslant \dfrac 38,$$即 $\triangle{ABC}$ 面积的最大值为 $\dfrac 38$．
答案
解析
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