已知圆 $C:x^2+y^2-2x+4y-4=0$，为是否存在斜率为 $1$ 的直线 $l$，其被圆 $C$ 截得弦 $AB$ 且以 $AB$ 为直径的圆过原点．若存在，写出直线 $l$ 的方程；若不存在，请说明理由．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$x-y+1=0$ 或 $x-y-3=0$
【解析】
设直线为 $x-y+m=0$，过点 $A,B$ 的圆系为$$x^2+y^2-2x+4y-4+\lambda(x-y+m)=0,$$于是$$\begin{cases} \dfrac{2-\lambda}2-\dfrac{-4+\lambda}2+m=0,\\ -4+\lambda =0,\end{cases} \text{解得} \begin{cases} \lambda =4,\\ m=1\end{cases} \text{或} \begin{cases} \lambda=-1,\\ m=-3,\end{cases} $$于是直线 $l$ 的方程为 $x-y+1=0$ 或 $x-y-3=0$．
答案
解析
备注
