由 $|{A_1}{B_1}| = \sqrt 7 $，知\[{a^2} + {b^2} = 7, \quad \cdots \cdots ① \]由 ${S_{平行四边形{A_1}{B_1}{A_2}{B_2}}} = 2{S_{平行四边形{B_1}{F_1}{B_2}{F_2}}}$，知\[ a=2c, \quad \cdots \cdots ② \]又\[{b^2} = {a^2} - {c^2}, \quad \cdots \cdots ③ \]由 $ ①②③ $ 解得 ${a^2} = 4,{b^2} = 3$，故椭圆 $ C $ 的方程为\[\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1.\]

设 $ A $，$ B $ 两点的坐标分别为 $\left({x_1},{y_1}\right),\left({x_2},{y_2}\right)$，假设使 $\overrightarrow {OA} \cdot\overrightarrow {OB} = 0$ 成立的直线 $l$ 存在，
（ⅰ）当 $l$ 不垂直于 $ x $ 轴时，设 $l$ 的方程为 $y = kx + m$，
由 $l$ 与 $n$ 垂直相交于 $ P $ 点且 $ \left|\overrightarrow {OP} \right|=1$，得\[\dfrac{|m|}{{\sqrt {1 + {k^2}} }} = 1,\]即\[{m^2} = {k^2} + 1.\]因为\[\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} = 0,\]将 $y = kx + m$ 代入椭圆方程，得\[\left(3 + 4{k^2}\right){x^2} + 8kmx + \left(4{m^2} - 12\right) = 0,\]由求根公式可得\[{x_1} + {x_2} = \dfrac{ - 8km}{{3 + 4{k^2}}}, \quad \cdots \cdots ④ \\ {x_1}{x_2} = \dfrac{{4{m^2} - 12}}{{3 + 4{k^2}}}, \quad \cdots \cdots ⑤ \]且\[\begin{split}0 &= {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}\\& = {x_1}{x_2} + \left(k{x_1} + m\right)\left(k{x_2} + m\right)\\&={x_1}{x_2} + {k^2}{x_1}{x_2} + km\left({x_1} + {x_2}\right) + {m^2}\\&=\left(1 + {k^2}\right){x_1}{x_2} + km\left({x_1} + {x_2}\right) + {m^2},\end{split}\]将 $ ④⑤ $ 代入上式并化简得\[\left(1 + {k^2}\right)\left(4{m^2} - 12\right) - 8{k^2}{m^2} + {m^2}\left(3 + 4{k^2}\right) = 0, \quad \cdots \cdots ⑥ \]将 ${m^2} = 1 + {k^2}$ 代入 $ ⑥ $ 并化简得 $ - 5\left({k^2} + 1\right) = 0$，矛盾．即此时直线 $l$ 不存在．
（ii）当 $l$ 垂直于 $x$ 轴时，满足 $\left| \overrightarrow {OP} \right|= 1 $ 的直线 $l$ 的方程为 $x = 1 或 x = - 1$，
则 $ A $，$ B $ 两点的坐标为 $\left(1,\dfrac{3}{2}\right),\left(1, - \dfrac{3}{2}\right),$ 或 $\left( - 1,\dfrac{3}{2}\right),\left( - 1, - \dfrac{3}{2}\right),$
当 $x = 1$ 时，$\overrightarrow {OA} \cdot\overrightarrow {OB} = \left(1,\dfrac{3}{2}\right)\cdot\left(1, - \dfrac{3}{2}\right) = - \dfrac{5}{4} \ne 0;$
当 $x = - 1$ 时，$\overrightarrow {OA} \cdot\overrightarrow {OB} = \left( - 1,\dfrac{3}{2}\right)\cdot\left( - 1, - \dfrac{3}{2}\right) = - \dfrac{5}{4} \ne 0;$
所以此时直线 $l$ 也不存在．
综上可知，使 $\overrightarrow {OA} \cdot\overrightarrow {OB} = 0$ 成立的直线 $l$ 不存在．