设动点为 $M$，其坐标为 $\left( {x,y} \right)$，
当 $x \ne \pm a$ 时，由条件可得\[\begin{split}{k_{M{A_1}}} \cdot {k_{M{A_2}}} & = \dfrac{y}{x - a} \cdot \dfrac{y}{x + a} \\& = \dfrac{y^2}{{{x^2} - {a^2}}} \\& = m,\end{split}\]即\[m{x^2} - {y^2} = m{a^2}\left( {x = \pm a} \right),\]又 ${A_1}\left( { - a,0} \right) , {A_2}\left( {a,0} \right)$ 的坐标满足\[m{x^2} - {y^2} = m{a^2}.\]故依题意，曲线 $C$ 的方程为\[m{x^2} - {y^2} = m{a^2}.\]当 $m < - 1$ 时，曲线 $C$ 的方程为\[\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{{ - m{a^2}}} = 1 ,\]$C$ 是焦点在 $y$ 轴上的椭圆；
当 $m = - 1$ 时，曲线 $C$ 的方程为\[{x^2} + {y^2} = {a^2},\]$C$ 是圆心在原点的圆；
当 $ - 1 < m < 0$ 时，曲线 $C$ 的方程为\[\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{{ - m{a^2}}} = 1,\]$C$ 是焦点在 $x$ 轴上的椭圆；
当 $m > 0$ 时，曲线 $C$ 的方程为\[\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{{m{a^2}}} = 1,\]$C$ 是焦点在 $x$ 轴上的双曲线．

由（1）知，当 $m = - 1$ 时，${C_1}$ 的方程为\[{x^2} + {y^2} = {a^2};\]当 $m \in \left( { - 1,0} \right) \cup \left( {0, + \infty } \right)$ 时，${C_2}$ 的两个焦点分别为\[{F_1}\left( { - a\sqrt {1 + m} ,0} \right),{F_2}\left( {a\sqrt {1 + m} ,0} \right).\]对于给定的 $m \in \left( { - 1,0} \right) \cup \left( {0, + \infty } \right)$，${C_1}$ 上存在点 $N\left( {{x_0},{y_0}} \right)$ $\left( {{y_0} \ne 0} \right)$ 使得 $S = \left| m \right|{a^2}$ 的充要条件是\[\begin{cases}x_0^2 + y_0^2 = a^2,{y_0} \ne 0,\quad\cdots\cdots ① \\
\dfrac{1}{2} \cdot 2a\sqrt {1 + m} \left| {y_0} \right| = \left| m \right|{a^2}.\quad\cdots\cdots ② \\
\end{cases}\]由 ① 得\[0 < \left| {y_0} \right| \leqslant a,\]由 ② 得\[\left| {y_0} \right| = \dfrac{\left| m \right|a}{{\sqrt {1 + m} }}.\]当 $0 < \dfrac{\left| m \right| + a}{{\sqrt {1 + m} }} \leqslant a$，即\[\dfrac{1 - \sqrt 5 }{2} \leqslant m < 0 或 0 < m \leqslant \dfrac{1 + \sqrt 5 }{2}\]时，存在点 $N$，使 $S = \left| m \right|{a^2}$；
当 $\dfrac{\left| m \right|a}{{\sqrt {1 + m} }} > a$，即\[ - 1 < m<\dfrac{1 - \sqrt 5 }{2} 或 m > \dfrac{1 + \sqrt 5 }{2}\]时，不存在满足条件的点 $N$．
当 $m \in \left[ {\dfrac{1 - \sqrt 5 }{2},0} \right) \cup \left( {0,\dfrac{1 + \sqrt 5 }{2}} \right)$ 时，由\[\begin{split}{\overrightarrow {NF} _1} & = \left( { - a\sqrt {1 + m} - {x_0}, - {y_0}} \right) , \\ \overrightarrow {N{F_2}} & = \left( {a\sqrt {1 + m} - {x_0}, - {y_0}} \right),\end{split}\]可得\[\begin{split}\overrightarrow {N{F_1}} \cdot \overrightarrow {N{F_2}} & = x_0^2 - \left( {1 + m} \right){a^2} + y_0^2= - m{a^2}.\end{split}\]令 $\left| {\overrightarrow {N{F_1}} } \right| = {r_1}$，$\left| {\overrightarrow {N{F_2}} } \right| = {r_2}$，$\angle {F_1}N{F_2} = \theta $，则由\[\overrightarrow {N{F_1}} \cdot \overrightarrow {N{F_2}} = {r_1}{r_2}\cos \theta =- m{a^2},\]可得\[{r_1}{r_2} = -\dfrac{{m{a^2}}}{\cos \theta },\]从而\[\begin{split}S & = \dfrac{1}{2}{r_1}{r_2}\sin \theta \\& = -\dfrac{{m{a^2}\sin \theta }}{2\cos \theta } \\& = - \dfrac{1}{2}m{a^2}\tan \theta ,\end{split}\]于是由 $S = \left| m \right| {a^2}$．可得\[ - \dfrac{1}{2}m{a^2}\tan \theta = \left| m \right|{a^2},\]即\[\tan \theta = - \dfrac{2\left| m \right|}{m}.\]综上可得：
当 $m \in \left[ {\dfrac{1 - \sqrt 5 }{2},0} \right)$ 时，在 ${C_1}$ 上，存在点 $N$，使得 $S = \left| m \right|{a^2}$，且\[\tan \angle{F_1}N{F_2} = 2;\]当 $m \in \left( {0,\dfrac{1 + \sqrt 5 }{2}} \right]$ 时，${C_1}$ 上，存在点 $N$，使得 $S = \left| m \right|{a^2}$，且\[\tan\angle{F_1}N{F_2} = - 2;\]当 $m \in \left( { - 1,\dfrac{1 - \sqrt 5 }{2}} \right) \cup \left( {\dfrac{1 + \sqrt 5 }{2}, + \infty } \right)$ 时，在 ${C_1}$ 上不存在满足条件的点 $N$．