对于方程 $2{x^2} - 3\left(1 + a\right)x + 6a = 0$，
判别式\[\Delta = 9{\left(1 + a\right)^2} - 48a = 3\left(a - 3\right)\left(3a - 1\right),\]因为 $a < 1$，所以 $a - 3 < 0$．
① 当 $1 > a > \dfrac{1}{3}$ 时，$\Delta < 0$，此时 $B = R$，所以 $D = A$；
② 当 $a = \dfrac{1}{3}$ 时，$\Delta = 0$，此时 $B = \left\{ x \left| \right.x \ne 1\right\} $，所以 $D = \left(0,1\right) \cup \left(1, + \infty \right)$；
当 $a < \dfrac{1}{3}$ 时，$\Delta > 0$，设方程 $2{x^2} - 3\left(1 + a\right)x + 6a = 0$ 的两根为 ${x_1},{x_2}$ 且 ${x_1} < {x_2}$，则\[{x_1} = \dfrac{{3\left(1 + a\right) - \sqrt {3\left(a - 3\right)\left(3a - 1\right)} }}{4},\\ {x_2} = \dfrac{{3\left(1 + a\right) + \sqrt {3\left(a - 3\right)\left(3a - 1\right)} }}{4},\]所以 $B = \left\{ x \left| \right.x < {x_1} 或 x > {x_2}\right\} $
③ 当 $0 < a < \dfrac{1}{3}$ 时，${x_1} + {x_2} = \dfrac{3}{2}\left(1 + a\right) > 0$，${x_1}{x_2} = 3a > 0$，所以 ${x_1} > 0,{x_2} > 0$
此时\[\begin{split}D &= \left(x,{x_1}\right) \cup \left({x_2}, + \infty \right)\\
& = \left(0,\dfrac{{3\left(1 + a\right) - \sqrt {3\left(a - 3\right)\left(3a - 1\right)} }}{4}\right) \cup \left(\dfrac{{3\left(1 + a\right) + \sqrt {3\left(a - 3\right)\left(3a - 1\right)} }}{4}, + \infty \right)\end{split}.\]

\[\begin{split}f'\left(x\right) &= 6{x^2} - 6\left(1 + a\right)x + 6a\\& = 6\left(x - 1\right)\left(x - a\right),a < 1,\end{split}\]所以函数 $f\left(x\right)$ 在区间 $\left[a,1\right]$ 上为减函数，在区间 $\left( - \infty ,a\right]$ 和 $\left[1, + \infty \right)$ 上为增函数．
① $x = 1$ 是极点 $ \Leftrightarrow 1 \in B \Leftrightarrow \dfrac{1}{3} < a < 1$，
② $x = a$ 是极点 $ \Leftrightarrow a \in A,a \in B \Leftrightarrow 0 < a < 1$，
得 $0 < a \leqslant \dfrac{1}{3}$ 时，函数 $f\left(x\right)$ 极值点为 $a$，
$\dfrac{1}{3} < a < 1$ 时，函数 $f\left(x\right)$ 极值点为 $1$ 与 $a$．