2008年全国高中数学联赛浙江省预赛

当 $a\leqslant0$ 时，有 $x\in\mathbb R$；当 $0\leqslant a\leqslant4$ 时，有 $x\geqslant\sqrt{a}$；当 $a>4$ 时，$x\geqslant \dfrac{a}{4}+1$

情形1 当 $x\geqslant1$ 时，不等式为 $\sqrt{x^2-a}\geqslant x-2$，于是有$$\begin{cases}x^2-a\geqslant0,\\x-2\leqslant0.\end{cases}$$因此，当 $a\leqslant0$ 时，有 $1\leqslant x\leqslant2$；当 $0\leqslant a\leqslant1$ 时，有 $1\leqslant x\leqslant2$；当 $1\leqslant a\leqslant4$ 时，有 $\sqrt{a}\leqslant x\leqslant2$；当 $a>4$ 时，空集；$$\begin{cases}x^2-a\geqslant0,\\x-2\geqslant0,\\ \sqrt{x^2-a}\geqslant x-2,\end{cases}$$因此，当 $a\leqslant0$ 时，有 $x\geqslant2$；当 $0\leqslant a\leqslant1$ 时，有 $x\geqslant2$；当 $1\leqslant a\leqslant4$，有 $x\geqslant2$；当 $a>4$ 时，$x\geqslant \dfrac{a}{4}+1$．
情形2 当 $x<1$ 时，不等式为 $\sqrt{x^2-a}\geqslant-x$，于是有$$\begin{cases}x^2-a\geqslant0,\\-x\leqslant x,\end{cases}$$因此，当 $a\leqslant0$ 时，有 $0\leqslant x<1$；当 $0\leqslant a\leqslant1$ 时，有 $\sqrt{a}\leqslant x<1$；当 $a>1$ 时，空集．$$\begin{cases}x^2-a\geqslant0,\\-x\geqslant0,\\ \sqrt{x^2-a}\geqslant-x.\end{cases}$$因此，当 $a\leqslant0$ 时，有 $x\leqslant0$；当 $a>0$ 时，空集．
综上可得，当 $a\leqslant0$ 时，有 $x\in\mathbb R$；当 $0\leqslant a\leqslant4$ 时，有 $x\geqslant\sqrt{a}$；当 $a>4$ 时，$x\geqslant\dfrac{a}{4}+1$．