题目 已知函数 $f(x)=a{\rm e}^{2x}+(a-2){\rm e}^{x}-x$． 问题1 讨论 $f(x)$ 的单调性； 答案1 当 $a\leqslant 0$ 时，$f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递减；<br/>当 $a>0$ 时，$f(x)$ 在 $\left(-\infty,\ln\dfrac{1}{a}\right)$ 上单调递减，在 $\left(\ln\dfrac{1}{a},+\infty\right)$ 上单调递增 解析1 函数 $f(x)$ 的导函数为\[f'(x)=2a{\rm e}^{2x}+(a-2){\rm e}^{x}-1=(a{\rm e}^{x}-1)(2{\rm e}^{x}+1).\]当 $a\leqslant 0$ 时，$f'(x)<0$；<br/>当 $a>0$ 时，在区间 $\left(-\infty,\ln\dfrac{1}{a}\right)$ 上有 $f'(x)<0$，在区间 $\left(\ln\dfrac{1}{a},+\infty\right)$ 上有 $f'(x)>0$．<br/>综上，当 $a\leqslant 0$ 时，$f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递减；<br/>当 $a>0$ 时，$f(x)$ 在 $\left(-\infty,\ln\dfrac{1}{a}\right)$ 上单调递减，在 $\left(\ln\dfrac{1}{a},+\infty\right)$ 上单调递增． 备注1 问题2 若 $f(x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围． 答案2 $(0,1)$ 解析2 由 $(1)$ 知 $a>0$，此时 $f(x)$ 有极小值，也是最小值 $f\left(\ln\dfrac 1a\right)$，要使得 $f(x)$ 有两个零点，需要$$f\left(\ln\dfrac 1a\right)=1-\dfrac 1a+\ln a<0,$$而函数 $g(x)=1-\dfrac 1x+\ln x$ 单调递增，且 $g(1)=0$，所以 $a\in (0,1)$．<br/>当 $a\in (0,1)$ 时，考虑函数 $f(x)$ 在 $x=\ln\dfrac ma,m>0$ 处的函数值$$f\left(\ln\dfrac ma\right)=a\left(\dfrac ma\right)^2+(a-2)\cdot\dfrac ma-\ln\dfrac ma,$$因为 $\ln \dfrac ma<\dfrac ma-1$，所以$$f\left(\ln\dfrac ma\right)>\dfrac {m(m+a-3)}a+1.$$当 $m=\dfrac a3$ 与 $m=3$ 时，由上面的不等式知$$f\left(\ln \dfrac 13\right)>0,f\left(\ln\dfrac 3a\right)>0,$$而 $\ln\dfrac 13<\ln\dfrac 1a<\ln\dfrac 3a$，结合单调性知 $f(x)$ 有两个零点． 备注2