已知 $\triangle ABC$ 不是直角三角形．
【难度】
【出处】
2011年清华大学等七校联考自主招生试题
【标注】
-
证明：$\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C$；标注答案略解析根据三角形的内角和为 $\pi$，得$$\tan C=-\tan(A+B)=\dfrac{\tan A+\tan B}{\tan A\tan B-1},$$整理得$$\tan A\tan B\tan C=\tan A+\tan B+\tan C.$$
-
若 $\sqrt{3}\tan C-1=\dfrac{\tan B+\tan C}{\tan A}$，且 $\sin 2A,\sin 2B,\sin 2C$ 的倒数成等差数列，求 $\cos\dfrac{A-C}{2}$ 的值．标注答案$1$ 或 $\dfrac{\sqrt6}{4}$解析由已知 $\sqrt{3}\tan C-1=\dfrac{\tan B+\tan C}{\tan A}$ 整理得$$\sqrt3\tan A\tan C=\tan A\tan B\tan C,$$与 $(1)$ 对比得 $\tan B=\sqrt3$，即 $B=\dfrac{\pi}{3}$．又由题意知$$\dfrac{1}{\sin2A}+\dfrac{1}{\sin2C}=\dfrac{2}{\sin2B}=\dfrac{4}{\sqrt3},$$整理得 $\dfrac{\sin2A+\sin2C}{\sin2A\sin2C}=\dfrac{4}{\sqrt3}$，利用积化和差与和差化积公式，变形得$$\dfrac{\sin(A+C)\cos(A-C)}{\cos2(A-C)-\cos2(A+C)}=\dfrac{1}{\sqrt3},$$考虑到 $\sin(A+C)=\sin B=\dfrac{\sqrt3}{2}$，$\cos2(A+C)=\cos2B=-\dfrac12$，代入得$$2\cos2(A-C)+1=3\cos(A-C),$$利用二倍角公式得$$4\cos^2(A-C)-3\cos(A-C)-1=0,$$解得 $\cos(A-C)=1 \text{或} -\dfrac14$，所以 $\cos\dfrac{A-C}{2}=1$ 或 $\dfrac{\sqrt6}{4}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
