已知函数 $f\left( x \right) = {\mathrm{e}^x} - x$，其中 $\mathrm{e}$ 是自然对数的底．
【难度】
【出处】
2007年武汉大学自主招生保送生测试
【标注】
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若函数 $F\left( x \right) = f\left( x \right) - a{x^2} - 1$ 的导函数 $F'\left( x \right)$ 在 $\left[ {0, + \infty } \right)$ 上是增函数，求实数 $a$ 的最大值；标注答案$\dfrac{1}{2}$解析对原函数求导，得$$F'\left( x \right) = f'\left( x \right) - 2ax = \left( {{\mathrm{e}^x} - 1} \right) - 2ax,$$由于 $F'\left( x \right)$ 在 $x \geqslant 0$ 时是增函数，故$$\forall x\in[0,+\infty) , F''\left( x \right) = {\mathrm{e}^x} - 2a \geqslant 0$$恒成立，从而$$\forall x\in[0,+\infty) , a \leqslant \dfrac{1}{2}{\mathrm{e}^x},$$所以 $a \leqslant \dfrac{1}{2}$，即 ${a_{\max }} = \dfrac{1}{2}$．
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求证：$f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) + f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) + f\left( {\dfrac{1}{4}} \right) + \cdots + f\left( {\dfrac{1}{{n + 1}}} \right) > n + \dfrac{n}{{4\left( {n + 2} \right)}}$，$n \in {{\mathbb{N}}^ * }$．标注答案略解析由第 $(1)$ 小题知，$F'\left( 0 \right) = 0$，且当 $a = \dfrac{1}{2}$ 时，$F'\left( x \right)$ 在 $\left[ {0, + \infty } \right)$ 上是增函数，故$$F'\left( x \right) \geqslant F'\left( 0 \right) = 0,$$所以 $F\left( x \right)$ 在 $\left[ {0, + \infty } \right)$ 上是增函数，此时 $F\left( 0 \right) = 0$，故$$\forall x \in \left[ {0, + \infty } \right) , F\left( x \right) \geqslant 0,$$即当 $x\geqslant0$ 时，$f\left( x \right) \geqslant \dfrac{1}{2}{x^2} + 1$ 恒成立．
依次令$$x = \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{4}, \cdots,\dfrac{1}{{n + 1}},$$可得\[\begin{split}&f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) \geqslant \dfrac{1}{2} \cdot {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} + 1,\\&f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) \geqslant \dfrac{1}{2} \cdot {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^2} + 1,\\&\cdots,\\&f\left( {\dfrac{1}{{n + 1}}} \right) \geqslant \dfrac{1}{2}{\left( {\dfrac{1}{{n + 1}}} \right)^2} + 1\end{split}\]将以上不等式相加，有\[\begin{split}f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) + f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) + \cdots + f\left( {\dfrac{1}{{n + 1}}} \right)& \geqslant \dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)}^2} + \cdots + {{\left( {\dfrac{1}{{n + 1}}} \right)}^2}} \right] + n\\& > \dfrac{1}{2}\left[ {\dfrac{1}{{2 \cdot 3}} + \dfrac{1}{{3 \cdot 4}} + \cdots + \dfrac{1}{{\left( {n + 1} \right) \cdot \left( {n + 2} \right)}}} \right] + n\\& = \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}} \right) + \left( {\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}} \right) + \cdots + \left( {\dfrac{1}{{n + 1}} - \dfrac{1}{{n + 2}}} \right)} \right] + n\\& = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{{n + 2}}} \right) + n \\&= n + \dfrac{n}{{4\left( {n + 2} \right)}}\end{split}\]其中 $n \in {{\mathbb{N}}^ * }$．因此原不等式得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
