设有抛物线 ${y^2} = 2px (p > 0)$，点 $B$ 是抛物线的焦点，点 $C$ 在 $x$ 轴正半轴上，动点 $A$ 在抛物线上，试问：点 $C$ 的坐标满足什么条件时 $\angle BAC$ 恒为锐角．
【难度】
【出处】
2004年同济大学自主招生优秀考生文化测试
【标注】
【答案】
点 $C$ 的横坐标的范围是 $\left( {0, \dfrac{{9p}}{2}} \right)$
【解析】
由题知 $B\left( {\dfrac{p}{2}, 0} \right)$．
设 $C\left( {m, 0} \right)$，$A\left( {x, y} \right)$，再结合 $\angle BAC$ 为锐角，所以$$\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} > 0,$$等价于$$\left( {\dfrac{p}{2} - x, - y} \right) \cdot \left( {m - x, - y} \right) = {x^2} - \left( {\dfrac{p}{2} + m} \right)x + \dfrac{{pm}}{2} + {y^2} > 0,$$而$${y^2} = 2px,$$所以$${x^2} + \left( {\dfrac{{3p}}{2} - m} \right)x + \dfrac{{pm}}{2} > 0.$$情形一 当 $-\dfrac{{\frac{{3p}}{2} - m}}{2} > 0$，也即 $m > \dfrac{{3p}}{2}$ 时，有$$\Delta = {\left( {\frac{{3p}}{2} - m} \right)^2} - 2pm < 0,$$解得 $\dfrac{p}{2} < m < \dfrac{{9p}}{2}$，所以$$\dfrac{{3p}}{2} < m < \dfrac{{9p}}{2}.$$情形二 当 $-\dfrac{{\frac{{3p}}{2} - m}}{2} \leqslant 0$，也即 $m \leqslant \dfrac{{3p}}{2}$ 时，只需 $x = 0$ 时，左边 $ > 0$ 即可，即$$\dfrac{{pm}}{2} > 0 , m > 0,$$所以 $0 < m \leqslant \dfrac{{3p}}{2}$．
综合以上两种情况，$m$ 的取值范围为 $\left( {0, \dfrac{{9p}}{2}} \right)$．
设 $C\left( {m, 0} \right)$，$A\left( {x, y} \right)$，再结合 $\angle BAC$ 为锐角，所以$$\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} > 0,$$等价于$$\left( {\dfrac{p}{2} - x, - y} \right) \cdot \left( {m - x, - y} \right) = {x^2} - \left( {\dfrac{p}{2} + m} \right)x + \dfrac{{pm}}{2} + {y^2} > 0,$$而$${y^2} = 2px,$$所以$${x^2} + \left( {\dfrac{{3p}}{2} - m} \right)x + \dfrac{{pm}}{2} > 0.$$
综合以上两种情况，$m$ 的取值范围为 $\left( {0, \dfrac{{9p}}{2}} \right)$．
答案
解析
备注
