已知数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 满足递推关系：${a_{n + 1}} = \sqrt {2{a_n} + 3} , n \in {{\mathbb{N}}^ * }$，且 ${a_1} = 2$．
【难度】
【出处】
2008年武汉大学自主招生保送生测试
【标注】
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求证：$3 - {a_{n + 1}} < \dfrac{2}{3}\left( {3 - {a_n}} \right) , n \in {{\mathbb{N}}^ * }$；标注答案略解析容易证明 ${a_n} < 3$，令 ${b_n} = 3 - {a_n}$，则$${\left( {3 - {b_n}_{ + 1}} \right)^2} = 2\left( {3 - {b_n}} \right) + 3,$$即$$ - 6{b_{n + 1}} + {b_{n + 1}}^2 = - 2{b_n},$$所以$$\dfrac{{{b_{n + 1}}}}{{{b_n}}} = \dfrac{2}{{6 - {b_{n + 1}}}},$$而 $0 < {b_n} < 3$，所以$$\dfrac{{{b_{n + 1}}}}{{{b_n}}} < \dfrac{2}{3},$$原命题得证．
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求证：${a_n} < {a_{n + 1}} , n \in {{\mathbb{N}}^ * }$．标注答案略解析由$$\begin{split}{a_{n + 1}} - {a_n} &= {b_n} - {b_{n + 1}} \\&> {b_n} - \dfrac{2}{3}{b_n} \\&= \dfrac{1}{3}{b_n} > 0,\end{split}$$所以原命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
