已知 $a, b > 0$，${\log _9}a = {\log _{12}}b = {\log _{16}}\left( {a + b} \right)$，求 $\dfrac{b}{a}$ 的值．
【难度】
【出处】
2008年浙江大学自主招生保送生测试试题
【标注】
【答案】
$ \dfrac{{\sqrt 5 + 1}}{2}$
【解析】
设$${\log _9}a = {\log _{12}}b = {\log _{16}}\left({a + b} \right) = k,$$则$$ a = {9^k} , b = {12^k} , a + b = {16^k},$$于是$${9^k} + {12^k} = {16^k}.$$欲求$$\dfrac{b}{a} = \dfrac{{{{12}^k}}}{{{9^k}}} = {\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^k},$$把条件转化为$$ {\left({\dfrac{3}{4}} \right)^k} + 1 = {\left({\dfrac{4}{3}} \right)^k},$$解得 ${\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^k} = \dfrac{{\sqrt 5 + 1}}{2}$ 即为所求．
答案
解析
备注
