题目 已知函数 $f(x)={\rm e}^{x}-{\rm e}x$． 问题1 求函数 $f(x)$ 的最小值； 答案1 $0$ 解析1 因为$$f'(x)={\rm e}^{x}-{\rm e},$$所以$$\min\left[f(x)\right]=f(1)=0.$$ 备注1 问题2 求证：${\rm e}^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}}>n+1(n\in\mathbb N^{*})$； 答案2 略 解析2 由 $(1)$，当 $x\ne 1$ 时，${\rm e}^{x}-{\rm e}x>0$，即$$x>\ln x+1.$$要证 ${\rm e}^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}}>n+1$，就是要证\[1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n-1}+\dfrac{1}{n}>\ln (n+1).\]而\[\begin{split}1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n-1}+\dfrac{1}{n}&>\ln 2+\ln \dfrac{3}{2}+\cdots+\ln \dfrac{n+1}{n}\\ &=\ln (n+1),\end{split}\]所以原命题得证． 备注2 问题3 对于函数 $h(x)$ 与 $g(x)$ 定义域上的任意实数 $x$，若存在常数 $k,b$，使得 $h(x)\geqslant kx+b$ 和 $g(x)\leqslant kx+b$ 都成立，则称直线 $y=kx+b$ 为函数 $h(x)$ 与 $g(x)$ 的“分界线”．设函数 $h(x)=f(x)-{\rm e}^{x}+{\rm e}x+\dfrac{1}{2}x^{2}$，$g(x)={\rm e}\ln x$，$h(x)$ 与 $g(x)$ 是否存在“分界线”？若存在，求出 $k,b$ 的值；若不存在，请说明理由． 答案3 存在；$k=\sqrt {\rm e}$，$b=-\dfrac{\rm e}{2}$ 解析3 由题意，$$h(x)=\dfrac{1}{2}x^{2} , g(x)={\rm e}\ln x.$$考查函数 $F(x)=h(x)-g(x)=\dfrac{1}{2}x^{2}-{\rm e}\ln x$，其导数为$$F'(x)=x-\dfrac{\rm e}{x},$$所以当 $x=\sqrt {\rm e}$ 时，$F(x)$ 取得最小值 $0$．<br/>因此，经计算得 $h(x)$ 和 $g(x)$ 在 $\left(\sqrt{\rm e},\dfrac{\rm e}{2}\right)$ 处的切线方程为$$y=\sqrt{\rm e}x-\dfrac{\rm e}{2}.$$由于 $h'(x)=x$ 在 $(x\in(0,+\infty)$ 上单调递增，$g'(x)=\dfrac{\rm e}{x}$ 在 $x\in(0,+\infty)$ 上单调递减，因此\[\forall x\in(0,+\infty),h(x)\geqslant \sqrt{\rm e}x-\dfrac{\rm e}{2}\geqslant {\rm e}\ln x.\]从而 $h(x)$ 与 $g(x)$ 存在“分界线”$$y=\sqrt{\rm e}x-\dfrac{\rm e}{2},$$此时 $k$ 和 $b$ 的值分别为 $k=\sqrt {\rm e}$，$b=-\dfrac{\rm e}{2}$．<img src="/static/images/c87034df06a805ea0895d45f66067b69.png" class="img-responsive" /> 备注3