题目 已知双曲线 $C:\dfrac {x^2}{a^2}-\dfrac {y^2}{b^2}=1 $（$a>0,b>0$）的离心率为 $2$，过点 $P(0,m)$（$m>0$）斜率为 $1$ 的直线 $l$ 交双曲线 $C$ 于 $A$，$B$ 两点，且 $\overrightarrow {AP}=3\overrightarrow {PB}$，$\overrightarrow {OA }\cdot \overrightarrow {OB}=3$． 问题1 求双曲线方程； 答案1 $ x^2-\dfrac {y^2}{3}=1 $ 解析1 由双曲线离心率为 $2$ 知，$$c=2a , b=\sqrt 3 a,$$所以双曲线方程可化为$$\dfrac {x^2}{a^2}-\dfrac {y^2}{3a^2}=1.$$直线 $l$ 方程为 $y=x+m$，与双曲线方程联立得$$2x^2-2mx-m^2-3a^2=0. \quad \cdots\cdots \text { ① }$$设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则$$x_1+x_2=m, x_1x_2=\dfrac {-m^2-3a^2}{2}.$$因为 $\overrightarrow {AP}=3\overrightarrow {PB}$，所以$$(-x_1,m-y_1)=3(x_2,y_2-m),$$故 $x_1=-3x_2$，结合 $x_1+x_2=m$，得$$x_1=\dfrac 32m ,x_2=-\dfrac 12m,$$代入$$x_1x_2=\dfrac {-m^2-3a^2}{2},$$得 $m^2=6a^2$．<br/>又\[\begin{split}\overrightarrow {OA}\cdot \overrightarrow {OB}&=x_1x_2+y_1y_2\\ &=2x_1x^2+m(x_1+x_2)+m^2\\ &=m^2-3a^2=3a^2=3,\end{split}\]所以 $a^2=1$，此时 $m=\sqrt 6$，代入 ①，整理得$$2x^2-2\sqrt 6x-9=0,$$显然该方程有两个不同的实数根，故 $a^2=1$ 符合要求，因此双曲线 $C$ 的方程为$$x^2-\dfrac {y^2}{3}=1.$$ 备注1 问题2 设 $Q$ 为双曲线 $C$ 右支上动点，$F$ 为双曲线 $C$ 的右焦点，在 $x$ 轴负半轴上是否存在定点 $M$ 使得 $\angle QFM =2\angle QMF$？若存在，求出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由． 答案2 存在，坐标为 $(-1,0)$ 解析2 假设点 $M$ 存在，设 $M(t,0)$．<br/>由 $(1)$ 知，双曲线右焦点为 $F(2,0)$．设 $Q(x_0,y_0)$（$x_0 \geqslant 1$）为双曲线 $C$ 右支上一点．<br/>当 $x_0 \neq 2$ 时，$$\tan \angle QFM=-k_{QF}=-\dfrac {y_0}{x_0-2},\\\tan \angle QMF=k_{QM}=\dfrac {y_0}{x_0-t}.$$因为 $\angle QFM=2\angle QMF$，所以$$-\dfrac {y_0}{x_0-2}=\dfrac {2\times \dfrac {y_0}{x_0-t}}{1-\left(\dfrac {y_0}{x_0-t}\right)^2},$$将 $y_0^2=3x_0^2-3$ 代入，整理得$$-2x_0^2+(4+2t)x_0-4t=-2x_0^2-2tx_0+t^2+3,$$于是$$\begin{cases}4+2t=-2t,\\ -4t=t^2+3,\end{cases}$$解得 $t=-1$，进而可得 $x_0=2$ 或 $x_0=-1$（舍去）．<br/>因为当 $x_0=2$ 时，$\angle QFM=90^{\circ}$，而 $t=-1$ 时，$\angle QMF=45^{\circ}$，所以满足$$\angle QFM=2\angle QMF,$$故 $t=-1$ 符合要求．<br/>因此满足条件的点 $M$ 存在，其坐标为 $(-1,0)$． 备注2