已知正数列 $\{a_n\}(n\geqslant 0)$ 满足 $a_n=\dfrac{a_{n-1}}{ma_{n-2}}$，$n=2,3,\cdots $，其中 $m$ 为实参数，若 $a_{2009}=\dfrac{a_0}{a_1}$，求 $m$ 的值．
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛天津市预赛
【标注】
【答案】
$1$
【解析】
因为\[\begin{split}&a_2=\dfrac{a_1}{ma_0} , &a_3=\dfrac{\dfrac{a_1}{ma_0}}{ma_1}=\dfrac 1{m^2a_0},\\& a_4=\dfrac{\dfrac 1{m^2a_0}}{m\dfrac{a_1}{ma_0}}=\dfrac 1{m^2a_1} , &a_5=\dfrac{\dfrac 1{m^2a_1}}{m\dfrac{1}{m^2a_0}}=\dfrac{a_0}{ma_1},\\&a_6=\dfrac{\dfrac{a_0}{ma_1}}{m\dfrac{1}{m^2a_1}}=a_0 , &a_7=\dfrac{a_0}{m\dfrac{a_0}{ma_1}}=a_1,\end{split}\]所以数列 $\{a_n\}$ 是周期为 $6$ 的周期数列，因此$$\dfrac{a_0}{a_1}=a_{2009}=a_5=\dfrac{a_0}{ma_1},$$于是有 $m=1$．
答案
解析
备注
