如图，在三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中，$AA_1 \perp \text{底面}ABC$，$AB \perp AC $，$AC=AB=AA_1$，$E$、$F$ 分别是棱 $BC$、$A_1A$ 的中点，$G$ 为棱 $CC_1$ 上的一点，且 $C_1F \parallel \text{平面}AEG$．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
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求 $\dfrac {CG}{CC_1}$ 的值；标注答案$\dfrac {CG}{CC_1}=\dfrac 12$解析因为$$\begin{cases}C_1F \parallel \text{平面}AEG,\\ C_1F \subset \text{平面}ACC_1A_1,\\ \text{平面}ACC_1A_1 \cap \text{平面}AEG=AG ,\end{cases}$$所以$$C_1F \parallel AG.$$因为 $F$ 为 $AA_1$ 中点，且侧面 $ACC_1A_1$ 为平行四边形，所以 $G$ 为 $CC_1$ 中点，故$$\dfrac {CG}{CC_1}=\dfrac 12.$$
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求证：$EG \perp A_1C$；标注答案略解析因为 $AA_1 \perp \text{底面}ABC$，所以$$AA_1 \perp AB , AA_1\perp AC.$$又 $AB \perp AC$，如图，以 $A$ 为原点建立空间直角坐标系 $A-xyz$．
设 $AB=2$，则由$$AB=AC=AA_1,$$得 $C(2,0,0)$，$B(0,2,0)$，$C_1(2,0,2) $，$A_1(0,0,2)$．
因为 $E$，$G$ 分别是棱 $BC$，$C_1C$ 的中点，所以 $E(1,1,0)$，$G(2,0,1)$．
由于$$\overrightarrow {EG}\cdot \overrightarrow {CA_1}=(1,-1,1)\cdot (-2,0,2)=0,$$所以$$\overrightarrow {EG}\perp \overrightarrow {CA_1},$$故 $EG \perp A_1C$． -
求二面角 $A_1-AG-E$ 的余弦值．标注答案$-\dfrac {\sqrt 6}{6}$解析设平面 $AEG$ 的法向量 $\overrightarrow {n}=(x,y,z)$，则$$\begin{cases} \overrightarrow {n} \cdot \overrightarrow {AE}=0,\\ \overrightarrow {n}\cdot \overrightarrow {AG}=0,\end{cases}$$即$$\begin{cases} x+y=0,\\ 2x+z=0.\end{cases}$$令 $x=1$，则 $y=-1$，$z=-2$，所以$$\overrightarrow {n}=(1,-1,-2).$$由已知可得平面 $A_1AG$ 的法向量 $\overrightarrow {m}=(0,1,0)$，所以$$ \cos < \overrightarrow {n} ,\overrightarrow {m} > =\dfrac { \overrightarrow {n}\cdot \overrightarrow {m} }{ \left|\overrightarrow {n}\right|\cdot \left| \overrightarrow {m}\right| }=-\dfrac {\sqrt 6}{6}.$$由题意知二面角 $A_1-AG-E$ 为钝角，所以二面角 $A_1-AG-E$ 的余弦值为 $-\dfrac {\sqrt 6}{6}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
