设数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，$a_1 \neq 0$，$2S_{n+1}-3S_n=2a_1$，$n \in \mathbb N^*$．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛江苏省复赛（一试）
【标注】
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证明数列 $\{a_n\}$ 为等比数列；标注答案略解析由题意$$2S_2-3S_1=2a_1,$$得$$2a_2-3a_1=0.$$由 $a_1\neq 0$，得 $\dfrac {a_2}{a_1}=\dfrac 32$．
又$$2S_{n+1}-3S_n=2a_1,2S_{n+2}-3S_{n+1}=2a_1,$$所以$$2a_{n+2}-3a_{n+1}=0,n\in \mathbb N^*.$$由 $a_1\neq 0$，得 $a_{n+1}\neq 0$，故 $\dfrac {a_{n+2}}{a_{n+1}}=\dfrac 32$．
因此数列 $\{a_n\}$ 为等比数列． -
若 $a_1$，$a_p(p \geqslant 3)$ 两项均为正整数，且存在正整数 $m$，使 $a_1 \geqslant m^{p-1}$，$a_p \leqslant (m+1)^{p-1}$，求 $a_n$．标注答案$a_n=2^{p-1}\times \left(\dfrac 32\right)^{n-1}$解析由 $(1)$ 知$$a_p=a_1\times \left(\dfrac 32\right)^{p-1}.$$因为 $a_1,a_p \in \mathbb N^*$，所以$$a_1=k\times 2^{p-1},k\in \mathbb N^*,$$从而$$a_p=k\times 3^{p-1}.$$由$$a_1 \geqslant m^{p-1} , a_p \leqslant (m+1)^{p-1},$$得$$k\times 2^{p-1} \geqslant m^{p-1} , k\times 3^{p-1}\leqslant (m+1)^{p-1},$$即$$m \leqslant 2\times \sqrt [{p-1}]{k} , m+1 \geqslant 3\times \sqrt [{p-1}]{k},$$作差得$$1\geqslant \sqrt [{p-1}]{k},$$即 $k\leqslant 1$，所以 $k=1$．
因此 $a_n=2^{p-1}\times \left(\dfrac 32\right)^{n-1}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
