$4$

设圆 $C$ 的切线 $l$ 与椭圆 $E$ 的两个交点为 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$．
当直线 $l$ 的斜率存在时，设 $l$ 的方程为$$y=kx+m\qquad\qquad\cdots\cdots\text{ ① }$$代入 $\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$，得$$(b^2+8k^2)x^2+16mkx+8(m^2-b^2)=0,$$由韦达定理，知$$x_1+x_2=\dfrac{-16mk}{b^2+8k^2},x_1x_2=\dfrac{8(m^2-b^2)}{b^2+8k^2}.\qquad\qquad\cdots\cdots\text{ ② }$$因为 $\overrightarrow{OA}\perp\overrightarrow{OB}$，所以有$$x_1x_2+y_1y_2=0\qquad\qquad\cdots\cdots\text{ ③ }$$将 $\text{ ① }$ 代入 $\text{ ③ }$，得$$(1+k^2)x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2=0,$$将 $\text{ ② }$ 代入上式，得$$m^2=\dfrac{8b^2(1+k^2)}{8+b^2}\qquad\qquad\cdots\cdots\text{ ④ }$$因为直线 $l$ 和圆相切，圆心到切线距离等于半径，即$$R=\dfrac{|m|}{\sqrt{1+k^2}},$$所以$$m^2=\dfrac{8}{3}(1+k^2),$$代入 $\text{ ④ }$，得 $b^2=4$．
当直线 $l$ 的斜率不存在时，$l$ 的方程可设为 $x=\sqrt{\dfrac83}$，代入椭圆方程得 $y=\pm\sqrt{\dfrac23}b$．
由 $\text{ ③ }$ 知$$\dfrac83-\dfrac23b^2=0,$$解得 $b^2=4$．
综上所述，不论直线 $l$ 的斜率是否存在，都有 $b^2=4$．

$\left[\dfrac{4\sqrt6}{3},2\sqrt3\right]$

过原点 $O$ 作 $OD\perp AB$，垂足为 $D$，则 $D$ 为切点，故$$OD=R=\dfrac{2\sqrt6}{3}.$$设 $\angle OAB=\theta$，则 $\theta$ 为锐角，且$$|AD|=\dfrac{R}{\tan\theta}=\dfrac{2\sqrt6}{3\tan\theta} , |BD|=\dfrac{2\sqrt6}{3}\tan\theta,$$所以$$|AB|=|AD|+|BD|=\dfrac{2\sqrt6}{3}\left(\tan\theta+\dfrac{1}{\tan\theta}\right).$$因为 $|OA|$ 在椭圆的 $a,b$ 之间变化，即 $2\leqslant |OA|\leqslant2\sqrt2$，所以$$\dfrac{\sqrt2}{2}\leqslant\tan\theta\leqslant\sqrt2.$$令 $x=\tan\theta$，易证当 $x\in\left[\dfrac{\sqrt2}{2},1\right]$ 时，$|AB|=\dfrac{2\sqrt6}{3}\left(x+\dfrac1x\right)$ 单调递减；
当 $x\in[1,\sqrt2]$ 时，$|AB|=\dfrac{2\sqrt6}{3}\left(x+\dfrac1x\right)$ 单调递增．
所以当 $x=1$ 时，$$|AB|_{\min}=\dfrac{4\sqrt6}{3}.$$当 $x=\sqrt2$ 或 $x=\dfrac{\sqrt2}{2}$ 时，$$|AB|_{\max}=2\sqrt3.$$因此有 $\dfrac{4\sqrt6}{3}\leqslant|AB|\leqslant2\sqrt3$．