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设 $F_{1},F_{2}$ 分别是双曲线 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)$ 的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点 $P$，使 $\left(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OF_{2}}\right)\cdot \overrightarrow{F_{2}P}=0$，$O$ 为坐标原点，且 $\left|\overrightarrow{PF_{1}}\right|=\sqrt 3\left|\overrightarrow{PF_{2}}\right |$，则该双曲线的离心率为 \((\qquad)\)
A: $\sqrt 6+\sqrt 2$
B: $\sqrt 3+1$
C: $\dfrac{\sqrt 3+1}{2}$
D: $\dfrac{\sqrt 6+\sqrt 2}{2}$
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    双曲线
    >
    双曲线的几何量
    >
    双曲线的基本量
【答案】
B
【解析】
因为\[\left(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OF_{2}}\right)\cdot \overrightarrow{PF_{2}}=0,\]所以$$|\overrightarrow{OF_2}|=|\overrightarrow{OP}|=c,$$从而 $\triangle PF_1F_2$ 为直角三角形．又因为$$\left|\overrightarrow{PF_{1}}\right|=\sqrt 3\left|\overrightarrow{PF_{2}}\right| , \left|\overrightarrow{PF_{1}}\right|-\left|\overrightarrow{PF_{2}}\right|=2a,$$所以\[\left|\overrightarrow{PF_{1}}\right|=(\sqrt 3+3)a,\left|\overrightarrow{PF_{2}}\right|=(\sqrt 3+1)a.\]根据勾股定理得$$(\sqrt 3+1)^2a^2+(\sqrt 3+3)^2a^2=4c^2,$$解得离心率\[e=\dfrac ca=\sqrt 3+1.\]
题目 答案 解析 备注
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