2009年全国高中数学联赛江苏省复赛

略

必要性：
设 $l_1,l_2$ 的切斜角分别为 $\alpha ,\beta$，由题设知 $\alpha ,\beta \in(0,\pi)$．
易知直线 $l_1$ 的参数方程为$$\begin{cases}x=1+t\cos \alpha ,\\ y=1+t\sin \alpha,\end{cases}$$代入抛物线方程可化得$$t^2 \sin^2 \alpha +2(\sin \alpha -\cos \alpha)t-1=0.$$设上述方程的两根为 $t_1,t_2$，则$$t_1t_2=\dfrac{-1}{\sin^2 \alpha}.$$由参数 $t$ 的几何意义，得$$AP\cdot BP=\dfrac 1{\sin^2\alpha}.$$同理$$CD\cdot DP=\dfrac 1{\sin^2 \beta}.$$若 $A,B,C,D$ 四点共圆，则$$AP\cdot BP=CP\cdot DP,$$即$$\sin^2 \alpha=\sin^2 \beta.$$因为 $\alpha ,\beta \in (0,\pi)$，所以$$\sin \alpha =\sin \beta.$$又 $l_1,l_2$ 不重合，则 $\alpha \ne \beta$，所以 $\alpha+\beta =\pi$．
充分性：
若 $\alpha +\beta =\pi$，因为 $\alpha ,\beta \in(0,\pi)$，故$$\sin \alpha =\sin \beta , \alpha \ne 0 , \beta\ne 0,$$所以$$\dfrac 1{\sin^2 \alpha}=\dfrac 1{\sin^2 \beta},$$即$$AP\cdot BP=CP\cdot DP,$$故 $A,B,C,D$ 四点共圆．