如图，设 $D$ 是锐角 $\triangle ABC$ 内部的一个点，使得 $\angle ADB=\angle ACB+90^{\circ}$，并且 $AC \cdot BD=AD \cdot BC$，计算比值 $\dfrac {AB\cdot AD}{AC \cdot BD}$．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
【答案】
$\sqrt 2$
【解析】
如图，$AD$，$BD$，$CD$ 的延长线与外接圆分别相交于 $G$，$E$，$F$，连结 $GE$，$EF$，$FG$．
因为 $\triangle EFD \sim \triangle CBD$，故$$\dfrac {EF}{FD}=\dfrac {BC}{BD}.$$由 $\triangle FGD \sim \triangle ACD$，得$$\dfrac {FG}{FD}=\dfrac {AC}{AD}.$$因为$$AC \cdot BD=AD \cdot BC,$$所以 $EF=FG$．
由$$\angle ADB=\angle ACB+90^{\circ},$$得 $\angle 1+\angle 2=90^{\circ}$，而$$\angle 3=\angle 1 , \angle 4=\angle 2,$$因此 $\angle EFG=90^{\circ}$，$\triangle EFG$ 为等腰直角三角形，所以 $\triangle ABD \sim \triangle EGD$，得$$\dfrac {AB}{BD}=\dfrac {GE}{GD},$$又 $\triangle ACD \sim \triangle FGD$，得$$\dfrac {CD}{AC}=\dfrac {GD}{FG},$$故$$\dfrac {AB\cdot CD}{AC \cdot BD}=\dfrac {GE}{FG}=\sqrt 2.$$
因为 $\triangle EFD \sim \triangle CBD$，故$$\dfrac {EF}{FD}=\dfrac {BC}{BD}.$$由 $\triangle FGD \sim \triangle ACD$，得$$\dfrac {FG}{FD}=\dfrac {AC}{AD}.$$因为$$AC \cdot BD=AD \cdot BC,$$所以 $EF=FG$．由$$\angle ADB=\angle ACB+90^{\circ},$$得 $\angle 1+\angle 2=90^{\circ}$，而$$\angle 3=\angle 1 , \angle 4=\angle 2,$$因此 $\angle EFG=90^{\circ}$，$\triangle EFG$ 为等腰直角三角形，所以 $\triangle ABD \sim \triangle EGD$，得$$\dfrac {AB}{BD}=\dfrac {GE}{GD},$$又 $\triangle ACD \sim \triangle FGD$，得$$\dfrac {CD}{AC}=\dfrac {GD}{FG},$$故$$\dfrac {AB\cdot CD}{AC \cdot BD}=\dfrac {GE}{FG}=\sqrt 2.$$
答案
解析
备注
