已知正项数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_2=2$，$a_n=\dfrac{a_{n-2}}{a_{n-1}}$，$n\geqslant 3$．求 $a_n$ 的通项公式．
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛安徽省预赛
【标注】
【答案】
$a_n=2^{\frac{\lambda^{n-1}-\mu^{n-1}}{\lambda-\mu}}$
【解析】
设 $b_n=\log_{2}a_n$，则有$$b_1=0 , b_2=1 , b_n=-b_{n-1}+b_{n-2}(n\geqslant 3).$$设 $\lambda ,\mu$ 是方程 $x^2=-x+1$ 的两根，即$$\lambda,\mu=-\dfrac{1+\sqrt 5}{2},$$则$$\begin{cases}b_n-\lambda b_{n-1}=\mu(b_{n-1}-\lambda b_{n-2})=\cdots =\mu^{n-2}(b_2-\lambda b_1),\\ b_n-\mu b_{n-1}=\lambda (b_{n-1}-\mu b_{n-2})=\cdots =\lambda^{n-2}(b_2-\mu b_1),\end{cases}$$所以 $b_n=\dfrac{\lambda^{n-1}-\mu^{n-1}}{\lambda -\mu}$，$a_n=2^{\frac{\lambda^{n-1}-\mu^{n-1}}{\lambda -\mu}}$．
答案
解析
备注
