$AD$ 是直角三角形 $ABC$ 斜边 $BC$ 上的高（$AB<AC$），$I_{1},I_{2}$ 分别是 $\triangle ABD,\triangle ACD$ 内心，$\triangle AI_{1}I_{2}$ 的外接圆 $\odot O$ 分别交 $AB,AC$ 于 $E,F$，直线 $EF,BC$ 交于点 $M$．证明：$I_{1},I_{2}$ 分别 $\triangle ODM$ 的内心和旁心．
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛江西省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
如图，连接 $DI_{1},DI_{2},BI_{1},AI_{2},I_{1}F$．
由于 $\angle EAF=90^{\circ}$，则圆心 $O$ 在 $EF$ 上．
设直径 $EF$ 交 $AD$ 于点 $O'$，并简记 $\triangle ABC$ 的三内角为 $A,B,C$．
由于\[\angle I_{1}BD=\dfrac{B}{2}=\dfrac{1}{2}\angle DAC=\angle I_{2}AD, \angle I_{1}DB=45^{\circ}=\angle I_{2}DA,\]所以 $\triangle DBI_{1}\backsim \triangle DAI_{2}$，得 $\dfrac{DI_{1}}{DI_{2}}=\dfrac{DB}{DA}$．
由于\[\angle I_{1}DI_{2}=90^{\circ}=\angle BDA,\]故 $\triangle I_{1}DI_{2}\backsim \triangle BDA$，因此$$\angle DI_{1}I_{2}=\angle B , \angle AI_{1}D=90^{\circ}+\dfrac{\angle B}{2}.$$注意\[\begin{split}&\angle AI_{1}D=\angle AI_{1}F+\angle FI_{1}I_{2}+\angle DI_{1}I_{2},\\& \angle AI_{1}F=\angle AEF,\\& \angle FI_{1}I_{2}=\angle FAI_{2}=\dfrac{\angle B}{2},\end{split}\]所以\[\angle AEF=90^{\circ}-B=C=\angle DAB,\]因此 $O'E=O'A$．
同理得 $O'F=O'A$，故 $O'$ 与 $O$ 重合，即圆心 $O$ 在 $AD$ 上，而\[\begin{split}&\angle EOD=\angle OEA+\angle OAE=2\angle OAE=2\angle C,\\& \angle EOI_{1}=2\angle EAI_{1}=\angle BAD=\angle C,\end{split}\]所以 $OI_{1}$ 平分 $\angle DOM$．
同理得 $OI_{2}$ 平分 $\angle DOF$，即 $I_{1}$ 是 $\triangle ODM$ 的内心，$I_{2}$ 是 $\triangle ODM$ 的旁心．
由于 $\angle EAF=90^{\circ}$，则圆心 $O$ 在 $EF$ 上．
设直径 $EF$ 交 $AD$ 于点 $O'$，并简记 $\triangle ABC$ 的三内角为 $A,B,C$．由于\[\angle I_{1}BD=\dfrac{B}{2}=\dfrac{1}{2}\angle DAC=\angle I_{2}AD, \angle I_{1}DB=45^{\circ}=\angle I_{2}DA,\]所以 $\triangle DBI_{1}\backsim \triangle DAI_{2}$，得 $\dfrac{DI_{1}}{DI_{2}}=\dfrac{DB}{DA}$．
由于\[\angle I_{1}DI_{2}=90^{\circ}=\angle BDA,\]故 $\triangle I_{1}DI_{2}\backsim \triangle BDA$，因此$$\angle DI_{1}I_{2}=\angle B , \angle AI_{1}D=90^{\circ}+\dfrac{\angle B}{2}.$$注意\[\begin{split}&\angle AI_{1}D=\angle AI_{1}F+\angle FI_{1}I_{2}+\angle DI_{1}I_{2},\\& \angle AI_{1}F=\angle AEF,\\& \angle FI_{1}I_{2}=\angle FAI_{2}=\dfrac{\angle B}{2},\end{split}\]所以\[\angle AEF=90^{\circ}-B=C=\angle DAB,\]因此 $O'E=O'A$．
同理得 $O'F=O'A$，故 $O'$ 与 $O$ 重合，即圆心 $O$ 在 $AD$ 上，而\[\begin{split}&\angle EOD=\angle OEA+\angle OAE=2\angle OAE=2\angle C,\\& \angle EOI_{1}=2\angle EAI_{1}=\angle BAD=\angle C,\end{split}\]所以 $OI_{1}$ 平分 $\angle DOM$．
同理得 $OI_{2}$ 平分 $\angle DOF$，即 $I_{1}$ 是 $\triangle ODM$ 的内心，$I_{2}$ 是 $\triangle ODM$ 的旁心．
答案
解析
备注
