已知抛物线 $y^2=2px$（$P>0$）上两个动点 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$O$ 为坐标原点，$OA\perp OB$．
【难度】
【出处】
2009年浙江省高中数学竞赛
【标注】
-
求线段 $AB$ 中点的轨迹方程 $C$；标注答案$y^2=px-2p^2$解析设 $y_1^2=2px_1$，$y_2^2=2px_2$，则$$x_1x_2=\dfrac 1{4p^2}(y_1y_2)^2.$$又因为 $OA\perp OB$，所以$$x_1x_2+y_1y_2=0,$$从而有$$y_1y_2+\dfrac 1{4p^2}(y_1y_2)^2=0,$$即有 $y_1y_2=-4p^2$．
设 $AB$ 的中点坐标为 $(x,y)$，则$$x=\dfrac{x_1+x_2}{2} , y=\dfrac{y_1+y_2}{2},$$于是有\[\begin{split}x&=\dfrac 12(x_1+x_2)\\&=\dfrac 1{4p}\left(y_1^2+y_2^2\right)\\&=\dfrac 1{4p}[(y_1+y_2)^2-2y_1y_2]\\&=\dfrac 1{4p}\left(4y^2+8p^2\right),\end{split}\]即 $y^2=px-2p^2$ 为该中点的轨迹方程． -
若在 $C$ 上的点到直线 $x-2y+2\sqrt 5-p=0$ 的距离为 $d$，求 $d$ 的最小值．标注答案$2$解析由题知\[\begin{split}d&=\dfrac{\left|x-2y+2\sqrt 5-p\right|}{\sqrt 5}\\&=\dfrac{\left|\dfrac 1p\left(y^2+2p^2\right)-2y+2\sqrt 5-p\right|}{\sqrt 5}\\&=\dfrac{(y-p)^2+2\sqrt 5 p}{\sqrt 5 p}\\&\geqslant 2,\end{split}\]当 $y=p$ 时，$x=3p$，$d_{\min}=2$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
