设 $z=\cos 40^\circ+{\rm i}\sin 40^\circ$，则\[z^3=-\dfrac 12+\dfrac{\sqrt 3}2{\rm i},\]而\[\begin{split} 4\cos 50^\circ - \tan 40^\circ &=4\cdot \dfrac{z-\overline z}{2{\rm i}}-\dfrac{z-\overline z}{(z+\overline z){\rm i}}\\
&=\dfrac{2z^2-2\overline z^2-z+\overline z}{(z+\overline z){\rm i}}\\
&=\dfrac{2z^4-2-z^3+z}{\left(z^3+z\right){\rm i}}\\
&=\dfrac{-z+z\sqrt 3{\rm i}-2+\dfrac 12-\dfrac{\sqrt 3}2{\rm i}+z}{\left(-\dfrac 12+\dfrac{\sqrt 3}2{\rm i}+z\right){\rm i}}\\
&=\dfrac{\sqrt 3\cdot \left(-\dfrac{\sqrt 3}2-\dfrac12{\rm i}+z{\rm i}\right)}{-\dfrac{\sqrt 3}2-\dfrac 12{\rm i}+z{\rm i}}\\
&=\sqrt 3.\end{split}\]