用一个数列取遍走遍复平面上所有整点：令 $a_0=0$，$a_1=1$，然后按逆时针方向逐格前进．再令 $a_{n+1}-a_n={\rm i}^{f(n)}$，其中 $\rm i$ 为虚数单位．求 $f(n)$ 的最简洁的统一表达式．
【难度】
【出处】
2009年浙江省高中数学竞赛
【标注】
【答案】
$f(n)=\left[\sqrt{4n+1}\right]-1 ({\rm mod}4)$
【解析】
由于 ${\rm i}^4=1$，所以 $f(n)$ 应是模 $4$ 的同余式．
为了寻找规律，我们首先求\[\begin{split}f(n)=0,1,2,2,3,3,4,4,4,5,5,5,\cdots ,\overbrace{2k,\cdots ,2k}^{k+1\text{个}},\overbrace{2k+1,\cdots ,2k+1}^{k+1\text{个}},\cdots \end{split}\]的表达式．
在这里，对使 $f(n)=2k$ 的最小 $n$，有$$n=2\cdot 1+2\cdots 2+\cdots +2\cdot k=k(k+1),$$所以$$f(n)=\begin{cases}2k, k(k+1)\leqslant n<(k+1)^2,\\ 2k+1, (k+1)^2\leqslant n<(k+1)(k+2),\end{cases}$$记 $f(n)=l$．
情形一 当 $l$ 为偶数时，$k=\dfrac l2$，所以$$\dfrac l2\left(\dfrac l2+1\right)\leqslant n\leqslant \left(\dfrac l2+1\right)^2-1,$$即$$l(l+2)\leqslant 4n\leqslant (l+2)^2-4,$$从而$$(l+1)^2\leqslant 4n+1\leqslant (l+2)^2-3<(l+2)^2.$$情形二 当 $l$ 为奇数时，$k=\dfrac{l-1}{2}$，所以$$\left(\dfrac{l+1}{2}\right)\leqslant n\leqslant \dfrac{l+1}{2}\cdot \dfrac{l+3}{2}-1,$$即$$(l+1)^2\leqslant 4n\leqslant (l+1)(l+3)-4,$$从而$$(l+1)^2<(l+1)^2+1\leqslant 4n+1\leqslant (l+2)^2-5<(l+2)^2.$$综合以上两种情况，总有 $l=\left[\sqrt{4n+1}\right]-1$，于是有$$f(n)=\left[\sqrt{4n+1}\right]-1 ({\rm mod}4).$$
为了寻找规律，我们首先求\[\begin{split}f(n)=0,1,2,2,3,3,4,4,4,5,5,5,\cdots ,\overbrace{2k,\cdots ,2k}^{k+1\text{个}},\overbrace{2k+1,\cdots ,2k+1}^{k+1\text{个}},\cdots \end{split}\]的表达式．
在这里，对使 $f(n)=2k$ 的最小 $n$，有$$n=2\cdot 1+2\cdots 2+\cdots +2\cdot k=k(k+1),$$所以$$f(n)=\begin{cases}2k, k(k+1)\leqslant n<(k+1)^2,\\ 2k+1, (k+1)^2\leqslant n<(k+1)(k+2),\end{cases}$$记 $f(n)=l$．
答案
解析
备注
