斜率为 $1$ 的直线交 $x$ 轴于 $C$ 点，与以 $x$ 轴为对称轴、开口向右且过点 $(-1,1)$ 的抛物线交于 $A,B$ 两点，$|AB|=5\sqrt2$，$C$ 点与抛物线顶点的距离为 $\dfrac43$，求抛物线的方程．
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛甘肃省预赛
【标注】
【答案】
$y^2=3x+4$ 或 $3y^2=25x+28$
【解析】
设所求抛物线方程为 $y^2=p(x-q),q>0$，则其顶点为 $(q,0)$．
由抛物线过点 $(-1,1)$，知$$1=p(-1-q).$$设直线方程为 $y=x-c$，则它与 $x$ 轴的交点 $C$ 是 $(c,0)$，从而有$$|c-q|=\dfrac43,$$解得$$c=q+\dfrac43 \lor c=q-\dfrac43.$$若 $c=q+\dfrac43$，将 $x=y+q+\dfrac43$ 代入抛物线方程得$$y^2-py-\dfrac43p=0,$$因此得到 $A,B$ 两点的纵坐标为$$y_{1,2}=\dfrac{p\pm\sqrt{p^2+\frac{16}{3}p}}{2},$$于是 $A,B$ 两点间的距离为$$5\sqrt2=|AB|=\sqrt{2(y_1-y_2)^2}=\sqrt{2\left(p^2+\dfrac{16}{3}p\right)},$$整理得$$3p^2+16p-75=0,$$解得 $p=3$ 或 $p=-\dfrac{25}{3}$（舍），于是抛物线的方程之一为$$y^2=3x+4.$$同理对于 $c=q-\dfrac43$，可得 $p=\dfrac{25}{3}$ 或 $p=-3$（舍），得到满足要求的另一方程为$$3y^2=25x+28.$$
由抛物线过点 $(-1,1)$，知$$1=p(-1-q).$$设直线方程为 $y=x-c$，则它与 $x$ 轴的交点 $C$ 是 $(c,0)$，从而有$$|c-q|=\dfrac43,$$解得$$c=q+\dfrac43 \lor c=q-\dfrac43.$$若 $c=q+\dfrac43$，将 $x=y+q+\dfrac43$ 代入抛物线方程得$$y^2-py-\dfrac43p=0,$$因此得到 $A,B$ 两点的纵坐标为$$y_{1,2}=\dfrac{p\pm\sqrt{p^2+\frac{16}{3}p}}{2},$$于是 $A,B$ 两点间的距离为$$5\sqrt2=|AB|=\sqrt{2(y_1-y_2)^2}=\sqrt{2\left(p^2+\dfrac{16}{3}p\right)},$$整理得$$3p^2+16p-75=0,$$解得 $p=3$ 或 $p=-\dfrac{25}{3}$（舍），于是抛物线的方程之一为$$y^2=3x+4.$$同理对于 $c=q-\dfrac43$，可得 $p=\dfrac{25}{3}$ 或 $p=-3$（舍），得到满足要求的另一方程为$$3y^2=25x+28.$$
答案
解析
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