$4\sqrt {\dfrac{\theta}{2}}$

以 $O$ 为原点，$\angle AOB$ 的平分线为 $x$ 轴建立直角坐标系 $xOy$，则可设$$P\left(a\cos \dfrac {\theta}{2},a\sin \dfrac {\theta}{2}\right) , Q\left(b\cos \dfrac {\theta}{2},-b\sin \dfrac {\theta}{2}\right),$$于是 $\triangle OPQ$ 的重心 $G(x_G,y_G)$ 的坐标为\[\begin{split}x_G&=\dfrac 13\left(a\cos \dfrac {\theta}{2}+ b\cos \dfrac {\theta}{2}+0\right)=\dfrac 13(a+b)\cos \dfrac {\theta}{2},\\y_G&=\dfrac 13\left(a\sin \dfrac {\theta}{2}- b\sin \dfrac {\theta}{2}+0\right)=\dfrac 13(a-b)\sin \dfrac {\theta}{2},\end{split}\]因此\[\begin{split}|OG|^2&=x_G^2+y_G^2\\ &=\dfrac 19(a^2+b^2)+\dfrac 29ab\left(\cos^2 \dfrac {\theta}{2}- \sin^2 \dfrac {\theta}{2}\right)\\&=\dfrac 19(a^2+b^2)+\dfrac 29ab\cos \theta \\&\geqslant \dfrac 19 \cdot 2ab+\dfrac 29ab\cos \theta \\&=\dfrac 49ab\cos^2\dfrac{ \theta}{2}. \end{split}\]已知$$S_{\triangle OPQ}=\dfrac 12ab\sin \theta=36,$$所以$$ab=\dfrac {72}{\sin \theta},$$于是\[\begin{split}|OG| &\geqslant \sqrt {\dfrac 49\cdot \dfrac {72}{\sin \theta}\cdot \cos^2\dfrac{ \theta}{2}}\\&= \sqrt {16\cot \dfrac{\theta}{2}}=4\sqrt {\cot \dfrac{\theta}{2}},\end{split}\]当 $a=b=\sqrt {\dfrac {72}{\sin \theta}}$ 时等号成立．
故 $|OG|_{\min}=4\sqrt {\dfrac{\theta}{2}}$．

$\dfrac{x^2}{36\cot \dfrac {\theta}{2}}-\dfrac{y^2}{36\tan \dfrac {\theta}{2}}=1(x>0)$

设 $M(x,y)$，则由 $|OM|=\dfrac 32|OG|$ 得\[\begin{split}x&=\dfrac 32x_G=\dfrac 12(a+b)\cos \dfrac {\theta}{2}>0,\\ y&=\dfrac 32y_G =\dfrac 12(a-b)\sin\dfrac {\theta}{2},\end{split}\]于是$$\begin{split}a&=\dfrac {x}{\cos \dfrac {\theta}{2}}+\dfrac {y}{\sin \dfrac {\theta}{2}},\\b&=\dfrac {x}{\cos \dfrac {\theta}{2}}-\dfrac {y}{\sin \dfrac {\theta}{2}},\end{split}$$代入 $ab=\dfrac {72}{\sin \theta}$，并整理得$$\dfrac{x^2}{36\cot \dfrac {\theta}{2}}-\dfrac{y^2}{36\tan \dfrac {\theta}{2}}=1(x>0),$$这就是所求动点 $M$ 的轨迹方程．