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设函数 $f(x)=\dfrac 1x$，$g(x)=ax^2+bx$（$a,b\in\mathbb R\land a\ne 0$）．若 $y=f(x)$ 的图象与 $y=g(x)$ 的图象有且仅有两个不同的公共点 $A(x_1,y_1)$ 和 $B(x_2,y_2)$，则下列判断正确的是 \((\qquad)\)
A: 当 $a<0$ 时，$x_1+x_2<0$，$y_1+y_2>0$
B: 当 $a<0$ 时，$x_1+x_2>0$，$y_1+y_2<0$
C: 当 $a>0$ 时，$x_1+x_2<0$，$y_1+y_2<0$
D: 当 $a>0$ 时，$x_1+x_2>0$，$y_1+y_2>0$
【难度】
【出处】
2012年高考山东卷（理）
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的零点
  • 方法
    >
    代数处理
    >
    半分离变量法
【答案】
B
【解析】
考虑方程$$ax+b=\dfrac{1}{x^2},$$于是直线 $y=ax+b$ 与幂函数 $y=x^{-2}$ 的图象有两个公共点．
当 $a>0$ 时，如图．此时 $x_1+x_2<0$，而$$y_1+y_2=\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}>0.$$当 $a<0$ 时，类似的，有 $x_1+x_2>0$，而$$y_1+y_2=\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}<0,$$因此正确的答案是 B．
题目 答案 解析 备注
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