抛物线 $y^{2}=4x$ 的焦点为 $F$，点 $A,B$ 在抛物线上，且 $\angle AFB=\dfrac{2\pi}{3}$，弦 $AB$ 中点 $M$ 在准线 $l$ 上的射影为 $M'$，则 $\dfrac{|MM'|}{|AB|}$ 的最大值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛河南省预赛
【标注】
【答案】
B
【解析】
设 $FA=a$，$FB=b$．根据题意，有\[|MN|=\dfrac {a+b}2,\]在 $\triangle ABC$ 中应用余弦定理，有\[|AB|^2=a^2+b^2+ab,\]于是\[\begin{split}\dfrac{|MN|}{|AM|}&=\dfrac 12\sqrt{\dfrac{(a+b)^2}{a^2+b^2+ab}}\\
&=\dfrac 12\sqrt{1+\dfrac{1}{\dfrac ab+\dfrac ba+1}}\\
&\leqslant \dfrac{\sqrt 3}3,\end{split}\]等号当且仅当 $a=b$，即 $A,B$ 关于 $x$ 轴对称时取得．因此所求的最大值为 $\dfrac{\sqrt 3}3$．
&=\dfrac 12\sqrt{1+\dfrac{1}{\dfrac ab+\dfrac ba+1}}\\
&\leqslant \dfrac{\sqrt 3}3,\end{split}\]等号当且仅当 $a=b$，即 $A,B$ 关于 $x$ 轴对称时取得．因此所求的最大值为 $\dfrac{\sqrt 3}3$．
题目
答案
解析
备注
