线 $MN$ 过定点 $E\left(\dfrac 5 9, 0\right)$

由题意知 $F(1,0)$．① 当弦 $AB$、$CD$ 的斜率均存在时，设 $AB$ 的斜率为 $k$，则 $CD$ 的斜率为 $-\dfrac 1 k$．
设 $l_{AB}: y=k(x-1)$．代入椭圆方程 $\dfrac{x^2}{5} + \dfrac{y^2}{4} = 1$，得\[(5k^2 + 4)x^2 -10k^2x + 5k^2 - 20 = 0.\]故\[x_M = \dfrac {x_A + x_B}{2} = \dfrac{5k^2}{5k^2 + 4},\]\[y_M = k(x_M - 1) = \dfrac {-4k}{5k^2 + 4}.\]于是，$M\left(\dfrac{5k^2}{5k^2 + 4},\dfrac {-4k}{5k^2 + 4}\right)$．
因为 $CD \perp AB$，所以，将点 $M$ 坐标中的 $k$ 换为 $-\dfrac 1 k$，即得点 $N\left(\dfrac 5 {4k^2 + 5}, \dfrac{4k}{4k^2 +5}\right)$．
当 $k \ne \pm 1$ 时，\[k_{MN}=\dfrac{\dfrac{4k}{4k^2+5}+\dfrac{4k}{5k^2+4}}{\dfrac{5}{4k^2+5}-\dfrac{5k^2}{5k^2+4}}=\dfrac{36k(k^2+1)}{20-20k^4}=\dfrac{-9k}{5k^2-5},\]此时，\[l_{MN}: y-\dfrac{4k}{4k^2+5}=\dfrac{-9k}{5k^2-5}\left(x-\dfrac{5}{4k^2+5}\right),\]即\[y=\dfrac{-9k}{5k^2-5}\left(x-\dfrac 5 9\right).\]则直线 $l_{MN}$ 过定点 $\left(\dfrac 5 9, 0\right)$．
当 $k=\pm 1$ 时，易得 $l_{MN}: x=\dfrac 5 9$，也过点 $\left(\dfrac 5 9, 0\right)$．
② 当弦 $AB$ 或弦 $CD$ 的斜率不存在时，易知，直线 $MN$ 为 $x$ 轴，也过定点 $\left(\dfrac 5 9, 0\right)$．
综上，直线 $MN$ 过定点 $E\left(\dfrac 5 9, 0\right)$．

$\dfrac{16}{81}$

由 $(1)$ 知\[\begin{split}S&=\dfrac 1 2 \left| EF \right| \left| y_M - y_N \right|\\&=\dfrac 2 9\left| \dfrac{-4k}{5k^2+4}-\dfrac{4k}{4k^2+5}\right|\\&=\left| \dfrac{8k(k^2+1)}{(5k^2+4)(4k^2+5)}\right|.\end{split}\]不妨设 $k>0$．则求导得\[S'=\dfrac{8(-20k^6 - 19k^4 + 19k^2 + 20)}{(4k^2 + 5)^2(5k^2+4)^2}=\dfrac{-8(20k^4+39k^2+20)(k^2-1)}{(4k^2+5)^2(5k^2+ 4)^2}.\]由 $S'=0$，知 $k=1$．当 $k \in (0,1)$ 时，$S'>0$；当 $k \in (1, \infty)$ 时，$S'<0$；故当 $k=1$ 时，$S$ 有最大值为 $\dfrac{16}{81}$．从而，$\triangle FMN$ 的面积最大值为 $\dfrac{16}{81}$．