2016年全国高中数学联赛新疆维吾尔自治区预赛

$2\sqrt 2$

直线 $AB$ 的方程为 $x+2y=2$．设直线 $EF$ 的斜率为 $k$，则直线 $EF$ 的方程为 $y=kx,k>0$．设 $E(x_{1},kx_{1}),F(x_{2},kx_{2})$，其中 $x_{1}<x_{2}$．由 $E,F$ 位于椭圆上知 $x_{1},x_{2}$ 满足方程\[(1+4k^{2})x^{2}=4,\]从而\[x_{1}=-\dfrac{2}{\sqrt{1+4k^{2}}},x_{2}=\dfrac{2}{\sqrt{1+4k^{2}}}.\]由点到直线的距离公式知 $E,F$ 到直线 $AB$ 的距离分别为\[h_{1}=\dfrac{|x_{1}+2kx_{1}-2|}{\sqrt 5}=\dfrac{2(1+2k+\sqrt{1+4k^{2}})}{\sqrt{5(1+4k^{2})}}, h_{2}=\dfrac{|x_{2}+2kx_{2}-2}{\sqrt 5}=\dfrac{2(1+2k-\sqrt{1+4k^{2}}}{\sqrt 5(1+4k^{2})}.\]又 $|AB|=\sqrt 5$，所以四边形 $AEBF$ 的面积为\[\begin{split}S&=\dfrac{1}{2}|AB|(h_{1}+h_{2})\\&=\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt 5\cdot \dfrac{4(1+2k)}{\sqrt{5(1+4k^{2})}}\\&=\dfrac{2(1+2k)}{\sqrt{1+4k^{2}}}\\&=2\sqrt{1+\dfrac{4}{\dfrac{1}{k}+2k}}\leqslant 2\sqrt 2,\end{split}\]