题目 设 $f\left(x\right) = - \dfrac{1}{3}{x^3} + \dfrac{1}{2}{x^2} + 2ax$． 问题1 若 $f\left( x \right)$ 在 $\left( {\dfrac{2}{3}, + \infty } \right)$ 上存在单调递增区间，求 $a$ 的取值范围； 答案1 略 解析1 已知 $f\left( x \right) = - \dfrac{1}{3}{x^3} + \dfrac{1}{2}{x^2} + 2ax$，<br/>可得出\[f'\left( x \right) = - {x^2} + x + 2a,\]函数 $f\left( x \right)$ 在 $\left( {\dfrac{2}{3}, + \infty } \right)$ 上存在单调递增区间，<br/>即导函数在 $\left( {\dfrac{2}{3}, + \infty } \right)$ 上存在函数值大于零的部分，<br/>再结合导函数开口向下，且对称轴为 $x=\dfrac 1 2 $，故只需\[ \begin{split} f'\left( {\frac{2}{3}} \right) = - {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} + \frac{2}{3} + 2a > 0. \end{split}\]解得\[a >-\dfrac 1 9 .\] 备注1 问题2 当 $0 < a < 2$ 时，$f\left( x \right)$ 在 $\left[ {1,4} \right]$ 上的最小值为 $ - \dfrac{16}{3}$，求 $f\left( x \right)$ 在该区间上的最大值． 答案2 略 解析2 根据题意，函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=-x^2+2x+2a,$$于是$$\begin{split}&f(1)=2a+\dfrac 16,\\&f(4)=8a-\dfrac{40}3,\\&f'(1)=2a,\\&f'(4)=2a-12.\end{split}$$当 $0<a<2$ 时，有$$f'(1)>0 , f'(4)<0,$$于是函数 $f(x)$ 的最小值必然在在区间端点处取得，因此$$\min\left\{2a+\dfrac 16,8a-\dfrac{40}3\right\}=-\dfrac{16}3,$$解得 $a=1$，故$$f'(x)=-x^2+x+2,$$因此 $f(x)$ 在区间上的最大值为 $f(2)=\dfrac{10}3$． 备注2