已知椭圆 $\dfrac{x^{2}}{8}+\dfrac{y^{2}}{4}=1$ 和双曲线 $\dfrac{x^{2}}{4}-\dfrac{y^{2}}{4}=1$，$F_{1},F_{2}$ 分别为椭圆的左、右焦点．$P$ 为双曲线异于顶点的任意一点，直线 $PF_{1}$ 与 $PF_{2}$ 分别于椭圆交于 $A,B$ 和 $C,D$．设直线 $PF_{1}$、$PF_{2}$ 的斜率分别为 $k_{1}$、$k_{2}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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证明：$k_{1}k_{2}=1$；标注答案略解析略
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证明是否存在常数 $\lambda$，使得 $|AB|+|CD|=\lambda|AB|\cdot |CD|$ 恒成立？请说明理由．标注答案存在常数 $\lambda =\dfrac{3\sqrt 2}{8}$解析椭圆 $\dfrac{x^{2}}{8}+\dfrac{y^{2}}{4}=1$ 对应的焦点弦长为 $\dfrac{2ab^{2}}{b^{2}+c^{2}\sin^{2}\alpha}=\dfrac{4\sqrt 2}{1+\sin^{2}\alpha}$．设直线 $PF_{1},PF_{2}$ 的倾斜角分别为 $\alpha_{1},\alpha_{2}$，则 $\tan\alpha_{1}=k_{1}$，$\tan\alpha_{2}=k_{2}$．所以\[\sin^{2}\alpha_{1}=\dfrac{k_{1}^{2}}{1+k_{1}^{2}}, \sin^{2}\alpha_{2}=\dfrac{k_{2}^{2}}{1+k_{2}^{2}}.\]于是\[|AB|=\dfrac{4\sqrt 2\left(1+k_{1}^{2}\right)}{1+2k_{1}^{2}}, |CD|=\dfrac{4\sqrt 2\left(1+k_{2}^{2}\right)}{1+k_{2}^{2}}.\]由 $|AB|+|CD|=\lambda|AB|\cdot |CD|$ 得，\[\dfrac{4\sqrt 2\left(1+k_{1}^{2}\right)}{1+2k_{1}^{2}}+\dfrac{4\sqrt 2\left(1+k_{2}^{2}\right)}{1+k_{2}^{2}}=\lambda\cdot \dfrac{4\sqrt 2\left(1+k_{1}^{2}\right)}{1+2k_{1}^{2}}\cdot \dfrac{4\sqrt 2\left(1+k_{2}^{2}\right)}{1+k_{2}^{2}},\]整理得\[(4\sqrt 2\lambda -3)(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+2)=0,\]所以 $\lambda =\dfrac{3\sqrt 2}{8}$．于是存在常数 $\lambda =\dfrac{3\sqrt 2}{8}$，使得 $|AB|+|CD|=\lambda |AB|\cdot |CD|$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
