已知过点 $M(x_{1},y_{1})$ 的直线 $l_{1}:x_{1}x+4y_{1}y=4$ 与过点 $N(x_{2},y_{2})$（其中 $x_{1}\ne x_{2}$）的直线 $l_{2}:x_{2}x+4y_{2}y=4$ 的交点 $E$ 在双曲线 $C:\dfrac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$，直线 $MN$ 与两条渐近线分别交于 $G,H$ 两点，求 $\triangle OGH$ 的面积．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2$
【解析】
如图，由题意点 $E(x_{E},y_{E})$ 在直线 $l_{1}:x_{1}x+4y_{1}y=4$ 和 $L:x_{2}x+4y_{2}y=4$ 上，因此有\[x_{1}x_{E}+4y_{1}y_{E}=4, x_{2}x_{E}+4y_{2}y_{E}=4.\]故点 $M,N$ 均在直线 $x_{E}x+4y_{2}y_{E}=4$ 上，因此直线 $MN$ 的方程为\[x_{E}x+4y_{E}y=4.\]设 $G,H$ 分别是直线 $MN$ 与渐近线 $x-2y=0$ 及 $x+2y=0$ 的交点，由方程组\[\begin{cases}x_{E}x+4y_{E}y=4,\\ x-2y=0,\end{cases}\]以及\[\begin{cases}x_{E}x+4y_{E}y=4,\\ x+2y=0,\end{cases}\]解得\[y_{G}=\dfrac{2}{x_{E}+2y_{E}},y_{H}=-\dfrac{2}{x_{E}-2y_{E}},\]设 $MN$ 与 $x$ 轴交点 $Q$，则在直线 $x_{R}x+4y_{E}y=4$ 中，令 $y=0$ 得 $x_{Q}=\dfrac{4}{x_{E}}$（易知 $x_{E}\ne 0$）．注意到 $x_{E}^{2}-4y_{E}^{2}=4$，得\[\begin{split}S_{\triangle OGH}&=\dfrac{1}{2}\cdot |OQ|\cdot |y_{G}-y_{H}|\\&=\dfrac{4}{|x_{E}|}\cdot \left|\dfrac{1}{x_{E}+2y_{E}}+\dfrac{1}{x_{E}-2y_{E}}\right|\\&=\dfrac{4}{|x_{E}|}\cdot \dfrac{2|x_{E}|}{\left|x_{R}^{2}-4y_{E}^{2}\right|}\\&=2.\end{split}\]
答案
解析
备注
