如图，已知抛物线 $E:y^{2}=x$ 与圆 $M:(x-4)^{2}+y^{2}=r^{2}(r>0)$ 相交于 $A,B,C,D$ 四个点．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求 $r$ 的取值范围；标注答案$\left(\dfrac{\sqrt{15}}{2},4\right)$解析联立抛物线与圆的方程，有 $x^{2}-7x+16-r^{2}=0$，抛物线与圆有四个交点，即方程有两个不同的正根．所以\[\begin{cases}\Delta=4r^{2}-15>0,\\ x_{1}+x_{2}=7>0,\\ x_{1}\cdot x_{2}=16-r^{2}>0.\end{cases}\]所以 $r$ 的取值范围是 $\left(\dfrac{\sqrt{15}}{2},4\right)$．
-
当四边形 $ABCD$ 的面积最大时，求对角线 $AC,BD$ 的交点 $P$ 的坐标．标注答案$\left(\dfrac{7}{6},0\right)$解析根据对称性，可设 $P(a,0)$，直线 $AC:x=my+a$，$A(x_{1},y_{1})$，$C(x_{2},y_{2})$ 则联立直线 $AC$ 与抛物线方程，有\[y^{2}-my-a=0,\]所以\[\begin{split}&x_{1}+x_{2}=m(y_{1}+y_{2})+2a=m^{2}+2a\\&x_{1}x_{2}=m^{2}y_{1}y_{2}+m(y_{1}+y_{2})+a^{2}=m^{2}+a^{2}-m^{2}a.\end{split}\]从而\[m^{2}+2a=7, m^{2}+a^{2}-m^{2}a=16-r^{2}.\]所以\[\begin{split}S_{ABCD}&=\dfrac{1}{2}\cdot 2|y_{1}-y_{2}|\cdot |x_{1}-x_{2}|\\&=|m|\cdot (y_{1}-y_{2})^{2}\\&=|m|\cdot (m^{2}+4a)\\&=\sqrt{\dfrac{1}{2}\cdot 2m^{2}\cdot (14-m^{2})}\cdot (14-m^{2}).\end{split}\]所以当 $m^{2}=\dfrac{14}{3}$ 时，$S_{ABCD}$ 取得最大值，此时 $a=\dfrac{7-m^{2}}{2}=\dfrac{7}{6}$．经验证，此时 $r^{2}=16-\dfrac{7}{2}$，符合题意．因此点 $P$ 的坐标为 $\left(\dfrac{7}{6},0\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
