已知 $a,b\in\mathbb R$，$a^3+b^3=1$，求 $a+b$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left(0,\sqrt[3]{4}\right]$
【解析】
设 $a+b=x$，$ab=y$，且 $x^2\geqslant 4y$，则$$1=a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=x^3-3xy,$$于是可得 $y=\dfrac 13\left(x^2-\dfrac 1x\right)$，从而$$\dfrac 43\left(x^2-\dfrac 1x\right)\leqslant x^2,$$解得 $x$ 的取值范围是 $\left(0,\sqrt[3]{4}\right)$，即 $a+b$ 的取值范围．
答案
解析
备注
