已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的两条渐近线的斜率之积为 $-3$，左右两支上分别有动点 $A$ 和 $B$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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若经过点 $D(0,5a)$ 的直线 $AB$ 的斜率为 $1$，且 $\overrightarrow{AD}=\lambda\overrightarrow{DB}$，求实数 $\lambda$ 的值；标注答案$\dfrac27$解析由题可知 $\dfrac{b^2}{a^2}=3$，即 $b^2=3a^2$，因此双曲线方程化为$$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{3a^2}=1.$$设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，且 $x_1<0,x_2>0$，则$$\lambda=-\dfrac{x_1}{x_2},$$联立直线 $AB$ 与双曲线方程，得$$x^2-5ax-14a^2=0.$$所以 $x_1=-2a , x_2=7a$，故 $\lambda=-\dfrac{x_1}{x_2}=\dfrac27$．
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设点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点为点 $M$．若直线 $AB,MB$ 分别与 $x$ 轴交于点 $P,Q$，$O$ 为坐标原点．证明：$|OP|\cdot|OQ|=a^2$．标注答案略解析由题可知 $M(x_1,-y_1)$，根据 $A,B,P$ 与 $M,B,Q$ 三点共线，可得出$$P\left(0,\dfrac{x_1y_2-x_2y_1}{x_1-x_2}\right) , Q\left(0,\dfrac{x_1y_2+x_2y_1}{x_1+x_2}\right),$$所以$$|OP|\cdot|OQ|=\left|\dfrac{x_1^2y_2^2-x_2^2y_1^2}{x_1^2-x_2^2}\right|,$$又点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 均在双曲线上，满足$$\begin{cases}3x_1^2-y_1^2=3a^2,\\3x_2^2-y_2^2=3a^2,\end{cases}$$代入上式整理，得 $|OP|\cdot|OQ|=a^2$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
