平面直角坐标系中 $xOy$ 中，$P$ 是不在 $x$ 轴上的一个动点，过 $P$ 作抛物线 $y^2=4x$ 的两条切线，切点设为 $A,B$，且直线 $PO\perp AB$ 于 $Q$，$R$ 为直线 $AB$ 与 $x$ 轴的交点．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛（一试）
【标注】
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求证：$R$ 是定点；标注答案定点 $R(2,0)$解析设 $P(m,n)$，则 $AB:ny=2(x+m)$，根据题意，直线 $PO$ 与直线 $AB$ 垂直，于是\[\dfrac nm\cdot \dfrac 2n=-1,\]因此 $m=-2$．进而 $R(2,0)$ 为定点．
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求 $\dfrac{PQ}{QR}$ 的最小值．标注答案$2\sqrt 2$解析因为 $m=-2$，所以直线 $PO$ 的斜率 $k_{1}=-\dfrac n2$，直线 $PR$ 的斜率 $k_{2}=-\dfrac n4$．
设 $\angle OPR=\alpha$，则 $\alpha$ 为锐角，且\[\begin{split}\dfrac {PQ}{QR}&=\dfrac {1}{\tan \alpha}=\left|\dfrac {1+k_1k_2}{k_1-k_2}\right|\\&=\dfrac {8+n^2}{2|n|}\geqslant \dfrac {2\sqrt {8\cdot n^2}}{2|n|}\\&=2\sqrt 2,\end{split}\]当 $n=\pm 2\sqrt 2$ 时，$\dfrac {PQ}{QR}$ 取到最小值，为 $2\sqrt 2$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
