平面直角坐标系中 $xOy$ 中，$P$ 是不在 $x$ 轴上的一个动点，过 $P$ 作抛物线 $y^2=4x$ 的两条切线，切点设为 $A,B$，且直线 $PO\perp AB$ 于 $Q$，$R$ 为直线 $AB$ 与 $x$ 轴的交点．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛（一试）
【标注】
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求证：$R$ 是定点；标注答案定点 $R(2,0)$解析设 $P(m,n)$，则 $AB:ny=2(x+m)$，根据题意，直线 $PO$ 与直线 $AB$ 垂直，于是\[\dfrac nm\cdot \dfrac 2n=-1,\]因此 $m=-2$．进而 $R(2,0)$ 为定点．
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求 $\dfrac{PQ}{QR}$ 的最小值．标注答案$2\sqrt 2$解析设直线 $AB$ 的倾斜角为 $\theta$，根据对称性，不妨设 $\theta$ 为锐角．此时有直线 $AB$ 的斜率\[\tan\theta=\dfrac 2n.\]而 $PQ$ 为点 $P$ 到直线 $AB$ 的距离\[PQ=\dfrac{n^2+8}{\sqrt{4+n^2}},\]因此\[\dfrac{PQ}{QR}=\dfrac{PQ}{OR}\cdot \dfrac{1}{\cos\theta}=\dfrac{n^2+8}{2\sqrt{4+n^2}}\cdot \sqrt{\dfrac 4{n^2}+1}=\dfrac n2+\dfrac 4n\geqslant 2\sqrt 2,\]等号当 $n=2\sqrt 2$ 时取得．因此所求的最小值为 $2\sqrt 2$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
