若集合 $A,B,C$ 满足 $A\cap B=\varnothing$，且 $A\cup B=C$，则称 $(A,B)$ 为 $C$ 的一个分割．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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已知集合 $A_1=\left\{x\mid \tan\left(\dfrac{\pi x}2+\dfrac{\pi}4\right),x\in\mathbb R\right\}$，集合 $B_1=\{x\mid \cos(\pi x)=1,x\in\mathbb R\}$，集合 $C_1=\{x\mid \sin(\pi x)=0,x\in\mathbb R\}$，问 $(A_1,B_1)$ 是否为 $C_1$ 的一个分割？请说明理由．标注答案略解析无
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设函数 $f(x)=\sqrt{\dfrac{x-a}{x-b}}$（$a>b$）及\[g(x)=\dfrac{\sin(\lambda+\mu)x}{\sin(\lambda-\mu)x}+\dfrac{\cos(\lambda+\mu)x}{\cos(\lambda-\mu)x},\lambda,\mu\in\mathbb R,\]记 $A_2=\{x \mid y =f(x)\}$，$B_2=\{ y \mid y=g(x)\}$，已知当 $\lambda=5$，$\mu=4$ 时，$(A_2,B_2)$ 为 $\mathbb R$ 的一个分割．若平行四边形 $P_1P_2P_3P_4$ 的四个顶点都在函数 $h(x)={\log_2}\dfrac{x+1}{x-1}$ 的图象上，且 $P_1$ 点的横坐标为 $a-7$，$P_2$ 点的横坐标为 $-\dfrac 23b$，试求平行四边形 $P_1P_2P_3P_4$ 的面积．标注答案略解析见备选题17．
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若 $C=\mathbb N^*$，是否存在 $C$ 的一个分割 $(A,B)$，满足 $A$ 中不存在三个成等比数列的数且 $B$ 中不存在无穷等比数列．标注答案略解析一个使得其中不存在三个成等比数列的数的取法为递增序列：$$a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots,$$满足$$\forall n\in\mathbb N^*,a_{n+2}>\dfrac{a_{n+1}^2}{a_n},$$此时$$\forall n\in\mathbb N^*,a_{n+1}<\dfrac{a_n+a_{n+2}}2,$$于是 $n-a_n$ 的散点图下凸，此时不存在任何共线的三个点，当然也不存在任何三项成等差数列．
接下来我们将正整数集中的无穷等比数列按首项 $a$ 和公比 $q$ 简记为 $(a,q)$，将所有无穷等比数列排成\[\begin{matrix}&(1,2)\quad &(1,3) \quad &(1,4)\quad &\cdots \\&(2,2)\quad &(2,3) \quad &(2,4)\quad &\cdots \\&(3,2)\quad &(3,3) \quad &(3,4)\quad &\cdots\\&\cdots \quad &\cdots\quad &\cdots \quad &\cdots \end{matrix}\]继而遍历所有的无穷等比数列，并分别从每个无穷等比数列中抽一个满足之前所述性质的数构成序列 $a_1,a_2,a_3,\cdots$，如图．比如，可以取 $A=\left\{1,2,9,64,1458,\cdots\right\}$．这样就完成了分割 $(A,B)$ 的构造．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
