设 $H$、$P$ 是三角形 $ABC$ 所在平面上异于 $A,B,C$ 的两点，用 $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c,\overrightarrow h$ 分别表示向量 $\overrightarrow{PA},\overrightarrow{PB}$、$\overrightarrow{PC},\overrightarrow{PH}$．已知$$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b+\overrightarrow c\cdot \overrightarrow h=\overrightarrow b\cdot \overrightarrow c+\overrightarrow a\cdot \overrightarrow h=\overrightarrow c\cdot \overrightarrow a+\overrightarrow b\cdot \overrightarrow h,$$且 $\left|\overrightarrow{AH}\right|=1$，$\left|\overrightarrow{BH}\right|=\sqrt 2$，$\left|\overrightarrow{BC}\right|=\sqrt 3$．点 $O$ 为三角形 $ABC$ 外接圆的圆心，则三角形 $AOB$，三角形 $BOC$，三角形 $AOC$ 的面积之比是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
C
【解析】
根据题意，有$$\left(\overrightarrow a-\overrightarrow c\right)\cdot\left(\overrightarrow b-\overrightarrow h\right)=0,$$即$$BH\perp AC,$$不难推得 $H$ 为三角形 $ABC$ 的垂心．
取 $BC$ 的中点 $M$．根据欧拉线的性质有 $AH=2OM$，于是不难得到$$A=\angle BOM=\dfrac{\pi}{3},$$进而由垂心的性质，有$$\angle BHF=A=\dfrac{\pi}{3},$$从而$$FH=\dfrac 12BH=\dfrac{\sqrt 2}2,$$这样我们得到了$$A=\dfrac{\pi}{3},B=\dfrac{\pi}{4},C=\dfrac{5\pi}{12},$$进而三角形 $AOB$，三角形 $BOC$，三角形 $AOC$ 面积之比为$$\sin 2C:\sin 2A:\sin 2B=1:\sqrt 3:2.$$
取 $BC$ 的中点 $M$．根据欧拉线的性质有 $AH=2OM$，于是不难得到$$A=\angle BOM=\dfrac{\pi}{3},$$进而由垂心的性质，有$$\angle BHF=A=\dfrac{\pi}{3},$$从而$$FH=\dfrac 12BH=\dfrac{\sqrt 2}2,$$这样我们得到了$$A=\dfrac{\pi}{3},B=\dfrac{\pi}{4},C=\dfrac{5\pi}{12},$$进而三角形 $AOB$，三角形 $BOC$，三角形 $AOC$ 面积之比为$$\sin 2C:\sin 2A:\sin 2B=1:\sqrt 3:2.$$
题目
答案
解析
备注
