题目 函数 $f(x)=a\ln x+bx^2+cx+d$，曲线 $y=f(x)$ 在 $x=1$ 处的切线为 $y=0$，在 $x=2$ 处的切线方程为 $3x-2y+\ln 4-6=0$． 问题1 求 $f(x)$ 的单调区间和极值； 答案1 略 解析1 备注1 问题2 若 $f(\sin\alpha)=f(\cos\beta)$，且 $\sin\alpha\ne \cos\beta$，证明：$\cos^2\alpha+\cos^2\beta<2\cos\beta$； 答案2 略 解析2 备注2 问题3 求证：对任意 $n\in\mathbb N^*$ 都有\[\sum_{k=1}^n\left[f\left(\dfrac{k+2}{k+1}\right)+f\left(\dfrac k{k+1}\right)\right]<\dfrac 23.\] 答案3 略 解析3 备注3