如图，直角 $\triangle ABC$ 与直角 $\triangle DEF$ 全等，$\angle BAC=30^\circ$，$AB=4$，$O$ 为 $AB,DE$ 的中点，直线 $CF$ 与 $DA$ 交于点 $H$，则 $BH$ 的最小值为 \((\qquad)\) 
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
D
【解析】
连接 $OC,OF$，如图．
由已知可得 $\triangle BOC$ 与 $\triangle EOF$ 全等，于是$$\angle BOC+\angle COE=\angle EOF+\angle COE=\angle DOA,$$进而 $\triangle CFO$ 与 $\triangle ADO$ 全等，$\angle OCF=\angle DAB$，从而 $C,O,A,H$ 四点共圆．设外接圆半径为 $r$，由正弦定理得$$\dfrac{OC}{\sin \angle BAC}=2r,$$所以 $r=2$，因为\[OG=CG=AG=AO=2,\]所以动点 $H$ 在以 $G$ 为圆心（其中 $G$ 为 $O$ 关于 $AC$ 的对称点），$2$ 为半径的圆上，因此当 $B,H,G$ 三点共线，且点 $H$ 位于点 $B,G$ 中间时 $BH$ 最小，且$$BH=BG-r=2\sqrt 3-2.$$
由已知可得 $\triangle BOC$ 与 $\triangle EOF$ 全等，于是$$\angle BOC+\angle COE=\angle EOF+\angle COE=\angle DOA,$$进而 $\triangle CFO$ 与 $\triangle ADO$ 全等，$\angle OCF=\angle DAB$，从而 $C,O,A,H$ 四点共圆．设外接圆半径为 $r$，由正弦定理得$$\dfrac{OC}{\sin \angle BAC}=2r,$$所以 $r=2$，因为\[OG=CG=AG=AO=2,\]所以动点 $H$ 在以 $G$ 为圆心（其中 $G$ 为 $O$ 关于 $AC$ 的对称点），$2$ 为半径的圆上，因此当 $B,H,G$ 三点共线，且点 $H$ 位于点 $B,G$ 中间时 $BH$ 最小，且$$BH=BG-r=2\sqrt 3-2.$$
题目
答案
解析
备注
