题目 已知函数 $\varphi(x)$ 满足 $\varphi(x)-\dfrac 12\varphi\left(\dfrac x2\right)=x^2$，且 $\lim_{x\to 0+}|\varphi(x)|<+\infty$． 问题1 数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n=\varphi\left(\sqrt{\dfrac n{n+1}}\right)$，是否存在 $p,q\in\mathbb N^*$，$p<q$ 使得 $a_1,a_p,a_q$ 成等比数列； 答案1 略 解析1 备注1 问题2 设函数 $h(x)=\sqrt{1+x^2}\cdot \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$，若对 $\forall x\in (0,1)$，都有 $h(x)<ax\varphi(x)+\sin x$，求实数 $a$ 的取值范围； 答案2 略 解析2 备注2 问题3 数列 $\{b_n\}$ 满足 $b_{n+1}=\dfrac{n+1}{3n+2b_n}\cdot b_n$，$b_1=\dfrac 12$，记 $c_n=b_n+\dfrac{1}{{\rm e}^{b_n}}$，求证：\[\sum_{k=1}^nb_k<c_n<h(c_n-1)+c_{n+1}.\] 答案3 略 解析3 备注3