求证：$\displaystyle \sum_{k=2}^n\dfrac{\ln k}{k^2}<1$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
考虑到\[\dfrac{\ln k}{k^2}=\dfrac{\ln k}{\sqrt k}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{k^3}}.\]而利用导数易得\[\dfrac{\ln k}{\sqrt{k}}<\dfrac{2}{\rm e},\]裂项可得\[\dfrac{1}{\sqrt{k^3}}<2\left(\dfrac{1}{\sqrt{k-\dfrac 12}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+\dfrac 12}}\right),\]可得\[LHS<\dfrac{2}{\rm e}\cdot 2\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2-\dfrac 12}}\approx 1.20149,\]后移放缩起点要到从 $303$ 项开始放缩，才能达到 $0.999966\cdots$．
答案
解析
备注
