求证：$\displaystyle \sum_{k=2}^n\dfrac{\ln k}{k^2}<1$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由积分放缩法，可得\[\begin{split}LHS&<\dfrac{\ln 2}{4}+\dfrac{\ln 3}9+\int_3^n\dfrac{\ln x}{x^2}{ {\rm d}} x\\
&=\dfrac{\ln 2}{4}+\dfrac{\ln 3}9+\left.\left(-\dfrac{1+\ln x}x\right)\right|_{3}^n\\
&<\dfrac{\ln 2}4+\dfrac{\ln 3}9+\dfrac {1+\ln 3}3\\
&<0.9948,\end{split}\]因此原不等式得证．
&=\dfrac{\ln 2}{4}+\dfrac{\ln 3}9+\left.\left(-\dfrac{1+\ln x}x\right)\right|_{3}^n\\
&<\dfrac{\ln 2}4+\dfrac{\ln 3}9+\dfrac {1+\ln 3}3\\
&<0.9948,\end{split}\]因此原不等式得证．
答案
解析
备注
