求棱长为 $1$ 的正方体沿体对角线旋转一周得到的立体图形的体积．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{\sqrt 3}{3}\pi$
【解析】
正方体沿对角线旋转一周得到的旋转体的轴截面如图（其中中间部分为异面直线绕其中一条直线旋转所得的双曲面）．
如图建系，可以计算得\[A\left(0,\dfrac{\sqrt 3}2\right),B\left(-\dfrac{\sqrt 6}3,\dfrac{\sqrt 3}6\right),C\left(-\dfrac{\sqrt 6}3,-\dfrac{\sqrt 3}6\right),D\left(0,-\dfrac{\sqrt 3}2\right),E\left(\dfrac{\sqrt 6}3,-\dfrac{\sqrt 3}6\right),F\left(\dfrac{\sqrt 6}3,\dfrac{\sqrt 3}6\right),\]于是可得截面中的双曲线方程为\[2x^2-4y^2=1.\]因此图中双曲面部分对应的体积\[V_1=2\int_0^{\frac{\sqrt 3}6}\pi\cdot \dfrac{4y^2+1}{2}{ {\rm d}} y=4\pi\cdot \left.\left(\dfrac 13y^3+\dfrac 14y\right)\right|_{0}^{\frac{\sqrt 3}6}=\dfrac{5\sqrt 3}{27}\pi,\]圆锥面部分对应的体积之和为\[V_2=2\cdot \dfrac 13\cdot \pi\cdot \left(\dfrac{\sqrt 6}3\right)^2\cdot \dfrac{\sqrt 3}3=\dfrac{4\sqrt 3}{27}\pi,\]于是所求的立体图形的体积为 $\dfrac{\sqrt 3}{3}\pi$．
如图建系，可以计算得\[A\left(0,\dfrac{\sqrt 3}2\right),B\left(-\dfrac{\sqrt 6}3,\dfrac{\sqrt 3}6\right),C\left(-\dfrac{\sqrt 6}3,-\dfrac{\sqrt 3}6\right),D\left(0,-\dfrac{\sqrt 3}2\right),E\left(\dfrac{\sqrt 6}3,-\dfrac{\sqrt 3}6\right),F\left(\dfrac{\sqrt 6}3,\dfrac{\sqrt 3}6\right),\]于是可得截面中的双曲线方程为\[2x^2-4y^2=1.\]因此图中双曲面部分对应的体积\[V_1=2\int_0^{\frac{\sqrt 3}6}\pi\cdot \dfrac{4y^2+1}{2}{ {\rm d}} y=4\pi\cdot \left.\left(\dfrac 13y^3+\dfrac 14y\right)\right|_{0}^{\frac{\sqrt 3}6}=\dfrac{5\sqrt 3}{27}\pi,\]圆锥面部分对应的体积之和为\[V_2=2\cdot \dfrac 13\cdot \pi\cdot \left(\dfrac{\sqrt 6}3\right)^2\cdot \dfrac{\sqrt 3}3=\dfrac{4\sqrt 3}{27}\pi,\]于是所求的立体图形的体积为 $\dfrac{\sqrt 3}{3}\pi$．
答案
解析
备注
