设直线 $x-3y+m=0\left({m \ne 0}\right)$ 与双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}- \dfrac{y^2}{b^2}= 1\left({a > 0, b > 0}\right)$ 的两条渐近线分别交于点 $A,B$，若点 $P\left({m,0}\right)$ 满足 $\left|{PA}\right| = \left|{PB}\right|$，则该双曲线的离心率是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2014年高考浙江卷（文）
【标注】
【答案】
B
【解析】
设弦 $AB$ 的中点为 $M(x_0,y_0)$，则根据题意，有$$\begin{cases} x_0-3y_0+m=0,\\ \dfrac {y_0-0}{x_0-m}\cdot \dfrac 13=-1,\end{cases}$$解得$$\begin{cases} x_0=\dfrac 45m,\\ y_0=\dfrac 35m,\end{cases}$$因此 $\dfrac {y_0}{x_0}=\dfrac 34$．
另一方面，由双曲线的“垂径定理”，有$$\dfrac {y_0}{x_0}\cdot \dfrac 13=\dfrac {b^2}{a^2},$$从而 $\dfrac{y_0}{x_0}=\dfrac{3b^2}{a^2}$．
因此有 $a^2=4b^2$，进而可得该双曲线的离心率 $e=\dfrac {\sqrt 5}2$．
另一方面，由双曲线的“垂径定理”，有$$\dfrac {y_0}{x_0}\cdot \dfrac 13=\dfrac {b^2}{a^2},$$从而 $\dfrac{y_0}{x_0}=\dfrac{3b^2}{a^2}$．
因此有 $a^2=4b^2$，进而可得该双曲线的离心率 $e=\dfrac {\sqrt 5}2$．
题目
答案
解析
备注
