题目 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{a_n}$，且 $a_1=1$． 问题1 求证：当 $n\geqslant 2$ 时，$a_n^2\geqslant 2n$； 答案1 略 解析1 注意到当 $n\in\mathbb N^*$ 时，有\[a_{n+1}^2-a_n^2=2+\dfrac{1}{a_n^2}>2,\]于是\[a_{n+1}^2-a_2^2\geqslant 2(n-1),\]即\[a_{n+1}^2\geqslant 2(n+1),\]命题得证． 备注1 问题2 求数列 $\{a_n\}$ 的前 $1000$ 项的整数部分的和． 答案2 略 解析2 略 备注2 根据第（1）小题的结论，有\[a_{n+1}^2-a_n^2=2+\dfrac{1}{a_n^2}\leqslant 2+\dfrac{1}{2n},\]于是\[a_{n+1}^2-a_2^2\leqslant 2(n-1)+\dfrac 12\left(1+\dfrac 12+\cdot +\dfrac 1n\right)\leqslant 2(n-1)+\dfrac 12\ln n+\dfrac 12,\]因此当 $n\geqslant 2$ 时，有\[2n\leqslant a_n^2\leqslant 2n+\dfrac 12\ln(n-1)+\dfrac 12.\]设 $[\sqrt{2n}]=k$，则\[k^2\leqslant 2n<k^2+2k+1,\]于是\[2n+\dfrac 12\ln(n-1)+\dfrac 12<k^2+2k+1.\]问题是无论估计的多么精确，都必然存在某些奇葩的 $a_k$，无法知道它的整数部分究竟是多少．